本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
《大眾科學》雜誌從1957年1月開始的“數學遊戲”專欄是出版界的傳奇，儘管最後一個專欄出現至今已近30年。這些專欄仍然被認為是清晰和優雅的典範，以非技術性的方式介紹數學中新鮮而引人入勝的想法。
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當我們停下來慶祝撰寫這些文章的人——多產的馬丁·加德納（1914-2010）誕辰一百週年時，我們注意到，雖然他的許多文章都屬於“趣味數學”的範疇，但其他文章則涉及尖端概念，這些概念涉及來自世界上一些最具創造力的人才的貢獻。即使是那些看似純粹為了娛樂的文章，有時也會啟發重要的研究，其中一些研究導致了對科學、技術和社會產生實際影響的發展。考慮到加德納沒有接受過正規的數學訓練，這種成功就更令人矚目了。
在他的回憶錄Undiluted Hocus-Pocus（普林斯頓，2013年）中，加德納回憶道
“撰寫專欄的樂趣之一是它讓我結識了許多頂尖數學家，當然我不是其中之一。他們對我的專欄的貢獻遠遠超過了我自己能寫出的任何東西，也是專欄日益受歡迎的主要原因。它成功的秘訣直接來自於我的無知。即使在今天，我對數學的知識也只延伸到微積分，甚至微積分我也只是略懂皮毛。因此，我不得不努力理解我寫的東西，這幫助我以其他人能夠理解的方式寫作。”
如何從加德納為《大眾科學》撰寫的大約300篇文章中挑選出十大文章呢？其中絕大多數是“數學遊戲”專欄，該專欄從1957年1月到1980年12月每月刊登，然後在1986年6月之前零星刊登。我們應該關注今天最常被談論的文章，那些在出版時引起最多讀者來信的文章，還是那些在科學上最具影響力的文章？
以下列表綜合考慮了所有這些因素，所以事不宜遲，我按照出版順序，列出並註釋了我認為加德納為《大眾科學》撰寫的十大最佳文章
1. “屈曲面體，其中使用紙條製作具有不尋常特性的六邊形圖形”（1956年12月）
將加德納的“第一篇”《大眾科學》文章“屈曲面體”包括在內是理所當然的。它實際上是他為該雜誌撰寫的第二篇文章（“邏輯機器”早在1952年3月就作為一篇特稿發表過），但它非常受歡迎，以至於編輯格里·皮爾立即邀請加德納撰寫月度專欄。因此，1957年1月，“數學遊戲”專欄正式誕生。
六邊屈曲面體，正如它們今天所知的那樣，是六邊形的摺疊紙製品，可以透過“將它們由內而外翻轉”來反覆變形，從而露出新的面。在他的回憶錄中，加德納回憶起他是如何透過羅伊爾·V·希思瞭解到它們的，希思是因從1951年開始普及“數學魔術”一詞而聞名的人。一位名叫亞瑟·斯通的英國研究生於1939年在普林斯頓意外發現了屈曲面體，他和同學約翰·圖基、布萊恩特·塔克曼和理查德·費曼隨後對它們進行了數學探索。戰爭中斷了他們的研究，這些紙質奇物被遺忘了。15年後，加德納重新發現了它們，他幾乎沒有想到這會開啟他職業生涯中最成功的一個階段。
正如他在去世前不久所指出的那樣，“今天，大約有五十個網站專門介紹屈曲面體理論和原始形式的變體。”以下是最近的兩個網站，它們將指導您製作自己的屈曲面體：六邊屈曲面體模板和製作你自己的六邊屈曲面體……並拍攝它們的照片
2. “關於複雜多米諾骨牌的更多資訊”（1957年12月）
這個專欄今天被人們記住，是因為它向讀者介紹了數學家索羅門·格倫布的五方格版本的“多聯骨牌”——透過將幾個單位正方形沿著它們的邊緣拼接在一起形成的圖形。正如加德納在他的回憶錄中指出的那樣
“單個正方形是單聯骨牌，兩個正方形是雙聯骨牌，三個是三聯骨牌，四個是四聯骨牌，五個是五聯骨牌。找到給定n的n-聯骨牌數量公式的問題仍然是一個深刻的未解決的組合問題。我關於格倫布的十二個五聯骨牌的第一篇專欄文章立即引起轟動。我在後來的幾篇專欄中又回到了多聯骨牌。”
3. “第三輯‘腦筋急轉彎’”（1958年8月）
加德納定期彙編的簡短腦筋急轉彎（通常簡稱為“九個問題”）迫使讀者要麼埋頭苦幹解決其中的問題，要麼等待整整一個月才能看到下一篇專欄提供的解決方案和評論。在斯普特尼克和阿波羅時代，唯一可用的“網路搜尋”選項是寫信給他本人，很多人都這樣做了，但那些通常是提供新解決方案或新材料的讀者。
今天回顧那些特別的專欄，人們會驚訝於其中包含的寶藏之多：返回的探險家（又名向南一英里，向東一英里，向北一英里），殘缺的棋盤，岔路口（又名說真話者和說謊者），令人費解的球體中的洞，以及一旦你領悟就顯而易見的接觸香菸。（在最後一個問題中有一個令人興奮的新進展，加德納的目錄學家和傳記作家達納·理查茲最近報道。）
面對如此激烈的競爭，要在這裡選出一個絕對的贏家並不容易，但我們選擇了1958年8月的腦筋急轉彎。它以標誌性的扭曲螺栓開篇，如上圖所示，並繼續介紹了軟木塞和滑動便士。然而，在這個特殊的合集中，最重要的位置是碰撞導彈。以下是問題
兩枚導彈以每小時9,000英里和每小時21,000英里的速度直接相向飛行。它們開始時相距1,317英里。在不使用紙和筆的情況下，計算出它們在碰撞前一分鐘相距多遠.
不用說，也不應該使用計算器、計算尺或算盤！（加德納的兒子吉姆報告說，算盤是他父親平衡支票簿的首選武器。）一點點物理知識會有所幫助，我們相信這個問題的呈現方式中隱藏著對教師的重要教訓。請參見下文末尾的解決方案和評論。
4. “關於一本關於幾何學的新書中的消遣”（1961年4月）
這個專欄及其相關的《大眾科學》封面，向許多人介紹了荷蘭藝術家M. C. 埃舍爾的迷幻前作品。它評論了多倫多幾何學家H. S. M. 考克斯特的著作《幾何學導論》（Wiley，1961年）。
今天很難相信，但在20世紀60年代初，幾何學和數學視覺化已經失寵，讓位於該學科更抽象的分支和更正式的推理。事實上，數學書籍中幾乎不包含任何圖片的情況並不少見。正如加德納興高采烈地報道的那樣，考克斯特的書，以及精彩的配圖，揭示了許多令人愉悅的驚喜，包括莫雷定理和證明內角平分線定理的難度。加德納隨後引用了“精確之吻”——一首詩，它使關於任意三個相互接觸的圓的奇特結果永垂不朽——然後轉向鑲嵌。
埃舍爾書中騎在馬上的騎士出現了，但封面是《大眾科學》獨有的，即現在著名的飛鵝（藝術部門在沒有諮詢藝術家的情況下給它們上了色）。碰巧的是，埃舍爾已經是加德納的粉絲，尤其是他最近出版的著作《註釋愛麗絲》（Potter，1960年）。
5. “約翰·康威的新單人紙牌遊戲‘生命’的奇妙組合”（1970年10月）
這個專欄今天更廣為人知的是“生命”或“生命遊戲”，它探索了英國數學家約翰·霍頓·康威創造的細胞自動機，進入了一個非常新的領域。引用當時加德納的話
“由於它與生物體社會興衰和變化的類比，它屬於一個不斷增長的被稱為‘模擬遊戲’的類別——類似於現實生活過程的遊戲。要在沒有計算機的情況下玩生命遊戲，你需要一個相當大的棋盤和大量兩種顏色的扁平計數器。”
戈斯珀的滑翔機槍。（來源：維基共享資源，Kieff）
事實證明，許多當時很少有機會接觸大型計算機的人抓住了機會來程式設計生命遊戲。但人們對這個新遊戲也產生了濃厚的理論興趣。在回憶錄中，加德納提到上面顯示的動畫，該動畫在後來的專欄中報道過，“康威是第一個證明戈斯珀的滑翔機槍將生命遊戲變成圖靈機的人，原則上圖靈機可以完成最強大的計算機所能做的一切。”他繼續說道
“世界各地的數學家都在用計算機編寫生命遊戲程式。我聽說有一位數學家在一家大型公司工作。他的辦公桌下藏著一個按鈕。如果他正在探索生命遊戲，並且有管理層的人員進入房間，他就會按下按鈕，機器就會回到處理一些與公司相關的問題！”
加德納還指出，他的第一篇關於生命遊戲的專欄“使康威一舉成名。這個遊戲被寫進了《時代》雜誌。”
6. “重溫自由意志，以及威廉·紐科姆的令人費解的預測悖論”（1973年7月）
這個專欄今天更廣為人知的是“紐科姆悖論”，它涉及物理學家威廉·紐科姆在1960年設計的一個自由意志悖論，然後在哲學家羅伯特·諾齊克1970年的一篇論文中被提及。想象一下桌子上有兩個封閉的盒子。已知盒子1肯定包含1,000美元，而盒子2要麼什麼都沒有，要麼包含1,000,000美元，但你不知道是哪種情況。你有兩種行動方案：要麼拿走兩個盒子裡的東西，要麼只拿走盒子2裡的東西。
這裡有一個陷阱：我們被要求相信，一個高階存在預先預測了你將做出的選擇，如果這個存在預測你將選擇兩個盒子，那麼這個存在就會讓盒子2空著，否則這個存在就會在盒子2裡放入1,000,000美元。此外，如果這個存在期望你擲硬幣來決定你的行動方案，那麼這個存在肯定會讓盒子2空著。
加德納繼續提出非常有力的論據，說明為什麼每種行動方案都優於另一種，他使用了預期收益價值計算，並詳細討論了爭論的雙方。他總結道，“難道紐科姆悖論可以透過否定原則上能夠以高於50%的準確率猜測一個人在兩個同樣合理的行為之間做出選擇的預測者的可能性來驗證自由意志嗎？”
7. “六項轟動性的發現，不知何故逃脫了公眾的注意”（1975年4月）
這個史無前例的愚人節惡作劇專欄讓許多讀者摸不著頭腦。在當時任何型別的“新結果”都無法在網際網路上搜索到，計算器只能顯示八位數字，而且很少有人能夠使用計算機的情況下，加德納成功地宣稱eπ√163 = 262,537,412,640,768,744，僅僅因為沒有人能夠真正核實，而且對於任何進行粗略計算的人來說，它似乎都接近於真實！他將其歸功於印度神秘數學家拉馬努金，這完全是一個轉移注意力的伎倆，但這個“近乎命中”的結果被證明具有數學意義。
加德納還透露，萊昂納多·達·芬奇發明了閥門沖水馬桶，加德納製作了看起來很有說服力的圖紙（“由紐約公共圖書館提供”）來證明這一點。然後，宣佈了一項計算機證明，即在國際象棋中，“兵到王翼車4”的走法對白方來說是必勝的，“具有高度的可能性”。
最引人注目的是，加德納公佈了一張110個區域的地圖，他說這張地圖無法用少於五種顏色著色。如果這是真的，這將為當時長期存在的四色地圖猜想提供一個反例。用四種顏色給這張特殊的地圖著色當然不容易。加德納的時機把握得恰到好處：一年後，阿佩爾和哈肯宣佈了一項“計算機輔助”證明，證明所有地圖確實都可以用四種顏色著色。摘自加德納的回憶錄
“我收到了數百封信，說明如何用四種顏色給我的地圖著色。許多讀者，包括一些科學家，感謝我讓他們注意到瞭如此重要的發現，但責備我在其中一項發現上完全錯了。”
8. “其中‘怪物’曲線迫使人們重新定義‘曲線’一詞”（1976年12月）
這個專欄後來被稱為“曼德布羅特集形”，它首先討論了歷史上對“曲線”一詞的理解，從古希臘到17世紀基於解析幾何的概念，以及隨後微積分時代產生的假設。所謂的病態曲線或怪物曲線的早期例子，如科赫雪花，緊隨其後，以及它們不可避免的悖論。曲線如何填充平面或空間，以及曲線上兩點之間的距離如何是無限的？
曼德布羅特對一種新型維度的形式化，他將其命名為分形維度，僅僅在這個專欄發表前一兩年，用不同尺度的自相似性來解釋。涵蓋的例子包括正方形雪花（如上圖所示）和康託塵。
當這篇文章撰寫時，曼德布羅特住在離加德納不遠的地方，大約在這個時候，在加德納自己的家中，加德納將曼德布羅特介紹給了康威。正如加德納在他的回憶錄中敘述的那樣，“康威一直在對彭羅斯鑲嵌進行新的發現，曼德布羅特很感興趣，因為彭羅斯鑲嵌圖案是分形。你可以不斷放大或縮小它們，始終獲得相似的圖案。”
9. “豐富瓷磚理論的非凡非週期性鑲嵌”（1977年1月）
加德納關於彭羅斯鑲嵌的專欄為他贏得了另一個封面故事，封面藝術品由約翰·康威繪製草圖（後來由《大眾科學》的工作人員藝術家著色）。
它從傳統的鑲嵌開始，例如用正方形、多米諾骨牌和六邊形完成的鑲嵌，這些鑲嵌通常是週期性的。加德納隨後解釋了其中許多（但不是全部）也與非週期性鑲嵌相關聯。他借鑑了M. C. 埃舍爾和索羅門·格倫布（後者的“爬行動物”）的影像，然後問道，“是否有任何瓷磚集合僅以非週期性方式鑲嵌？”這引出了彭羅斯在20世紀70年代中期發現的現在被稱為彭羅斯瓷磚（或根據康威的建議，飛鏢和風箏）的迷人故事。
在他的回憶錄中，加德納評論道
“令彭羅斯非常驚訝的是，事實證明他的瓷磚的三維形式只會非週期性地鑲嵌空間！不僅如此，而且這種形狀實際上可以在實驗室中製造出來。它們被稱為準晶體。自那時以來，已經發表了數百篇關於它們的論文。它們是一個奇妙的例子，說明一個數學發現，在沒有意識到它在現實中的應用的情況下做出的，可能會被大自然母親所預料到！”
2011年，化學家丹·謝赫特曼因“發現準晶體”而被授予諾貝爾化學獎。
10. “一種新型密碼，需要數百萬年才能破解”（1977年8月）
這個陷門密碼專欄介紹了RSA加密，一種新的“公鑰”秘密通訊方法，以前認為是不可能的。它基於羅恩·李維斯特、阿迪·薩莫爾和倫納德·阿德曼於1977年4月撰寫的一份麻省理工學院備忘錄，他們將其傳送給了加德納。他對此印象深刻，以至於打破了他通常提前幾個月計劃專欄的規則，並迅速撰寫出來發表。
基本思想是秘密地取兩個非常大的質數（p，q），每個質數至少40位長，並形成它們的乘積r=pq，假設外人要分解r將是一項不可逾越的任務。將r以及相關的奇數s透露給所有人被認為是安全的；這就是公鑰。任何希望向選擇p和q的人傳送秘密數字“單詞”w的人都應執行以下操作：找到ws 除以r時的餘數e，並公開通訊e。一個簡單的數學技巧允許知道e的人從中重建w，前提是他們知道n的因子p和q，但不知道p和q的人似乎不太可能有機會。
為了證明這一點，RSA團隊向加德納提供了一條128位編碼訊息e，它是使用指定的129位n計算出來的，n是神秘的絕密64位和65位質數p和q的乘積。他們還指出s = 9007。對於任何能夠從e計算出的原始訊息w的人，都提供100美元的獎金。鑑於專欄的標題，人們認為沒有人會在短期內破解它。事實上，加德納為了保險起見，在文章開頭引用了埃德加·愛倫·坡的一句話：“然而，可以斷言，人類的智慧無法 concoct 一種人類的智慧無法解決的密碼。”
RSA加密成為行業標準，其變體至今仍在使用，儘管最近重新審視了它的安全性問題。儘管加德納的專欄具有開創性，但它並沒有完全名副其實。其中提出的挑戰性訊息早在1994年4月就被成功解碼。
道歉和附錄
對於任何十大列表中要包含的專案，意見當然會有所不同，並且上面可能缺少許多讀者最喜歡的專案。在此致歉。對於已故偉大的歐文·約書亞·矩陣博士的粉絲造成的任何冒犯，我也感到遺憾。他的冒險經歷都沒有入選最終名單。也許如果名單增加到11個……
有大量的加德納紀念品可供探索。檢視《大眾科學》的深度報道，“馬丁·加德納百年紀念”，《大眾科學》電子書，馬丁·加德納：數字的魔力和神秘，以及官方馬丁·加德納網站。
碰撞導彈的解決方案和評論
我們不妨假設一枚導彈是靜止的，另一枚導彈以每小時30,000英里（它們的組合速度）的速度向它衝來。由於在這種情況下行進的距離是透過將速度乘以所用時間來計算的，因此可以得出結論，在一分鐘（1/60小時）內，移動的導彈行進（30,000英里/小時）x（1/60小時）= 500英里。這就是導彈在碰撞前一分鐘必須相距的距離。
大多數讀者感到驚訝——有些人感到失望或被欺騙——我們不需要導彈開始時相距1,317英里的事實。這使它成為一個“技巧”問題嗎？這取決於一個人的角度。考慮一下這一點（對於我們這些從事教學行業的人來說，這裡有一個教訓）：在現實世界中，與許多教科書中的情況不同，我們被資訊和資料轟炸。學會區分必要資訊和無關資訊是一項值得掌握的關鍵技能。加德納這位理性冠軍再次用這個謎題巧妙地為我們指明瞭正確的方向。