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對於一位 32 歲就去世的人來說，很大程度上是自學成才的印度數學家 斯里尼瓦薩·拉馬努金 留下了令人印象深刻的數論見解遺產——包括許多他沒有提供證明的主張。他大約一個世紀前提出的關於計算一個數字可以表示為和的種數這一更加神秘的陳述之一，現在已幫助研究人員在計數領域中發現了意想不到的 分形結構。
拉馬努金的陳述涉及看似簡單的劃分概念——一個整數可以細分為較小數字的不同方式。埃默裡大學的 Ken Ono 和他的合作者 現在已經找到了 計算所有可能劃分的新方法，並發現結果形成分形——即模式或形狀在多個不同尺度上完全相同的重複結構。“我們發現的分形理論完全解答了拉馬努金的神秘陳述，”Ono 說。他的團隊破解的問題被視為數論的聖盃，其解決方案可能會對整個數學領域產生影響。
思考劃分的一種方法是考慮如何將一組任何（不可區分的）物件劃分為子集。例如，如果您需要在地下室存放五個箱子，您可以將它們全部堆成一堆；將它們單獨放在地板上，作為包含一個箱子的五個子集；將它們放在一堆，或子集，三個加上一堆兩個；等等——您總共有 7 種選擇
5、1+1+1+1+1、1+1+1+2、1+1+3、1+4、1+2+2 或 2+3。
數學家透過說 p(5) = 7 來表達這一點，其中 p 是劃分的縮寫。對於數字 6，有 11 種選擇：p(6) = 11。隨著數字 n 的增加，p(n) 很快開始增長得非常快，例如 p(100) = 190,569,292，而 p(1,000) 是一個 32 位數字。（WolframAlpha 知識引擎 計算的劃分數字高達一百萬。）
這個概念非常基本和根本，因此它對於數論至關重要，並且也出現在大多數其他數學領域中。數學家們早就知道，對於 n 的所有值，由 p(n) 組成的數字序列遠非隨機。例如，拉馬努金和後來的其他人找到了公式，可以很好地近似預測任何 p(n) 的值。並且長期以來一直存在通用的“遞迴”公式來計算 p(n)，但它們並沒有顯著加快計算速度，因為要找到 p(n)，您首先需要知道 p(n – 1)、p(n – 2) 等等。“即使在今天的計算機幫助下，這也不切實際，”Ono 說。
原則上，用於計算 p(n) 精確值的直接公式可能會更快。直接公式的另一個優點是能夠比較任意大的 n 的 p(n) 值，從而證明模式的存在，例如沿著整個無限序列重複的屬性。
事實上，拉馬努金的原始陳述源於對模式的觀察，例如 p(9) = 30、p(9 + 5) = 135、p(9 + 10) = 490、p(9 + 15) = 1,575 等等都可被 5 整除。請注意，這裡的 n 值以五個單位的間隔出現。
拉馬努金假設這種模式應該永遠持續下去，並且當 5 被 7 或 11 替換時，也存在類似的模式——存在無限序列的 p(n)，它們都可被 7 或 11 整除，或者，正如數學家所說，其中“模數”為 7 或 11。
然後，拉馬努金以近乎神諭般的語氣繼續說道：“似乎存在相應的屬性，”他在 1919 年的論文中寫道，“其中模數是 5、7 或 11 的冪……並且對於任何涉及除這三個質數以外的質數的模數，都沒有簡單的屬性。”（質數是隻能被自身或 1 整除的整數。）因此，例如，應該存在適用於無窮多個以 5^3 = 125 個單位分隔的 n 的公式，表明相應的 p(n) 都應該可以被 125 整除。
在隨後的幾年裡，數學家們能夠根據拉馬努金的陳述證明簡單的案例。至於“沒有簡單的屬性”可能意味著什麼，那曾經是任何人的猜測——直到現在。
Ono 與德國達姆施塔特工業大學的 Jan Hendrik Bruinier 合作，開發了用於計算任何 n 的 p(n) 的第一個精確公式。在與同樣在埃默裡大學的 Zachary A. Kent 以及耶魯大學的 Amanda Folsom 的另一篇論文中，他已經確定了甚至拉馬努金可能都無法夢見的模式。
這些模式將某些 p(n) 序列聯絡起來，其中 n 值由 11 以外的任何質數的冪分隔。例如，取下一個質數 13，以及序列 p(6)、p(6 + 13)、p(6 + 13 + 13) 等等。Ono 的公式將這些值與 p(1,007)、p(1,007 + 13^2)、p(1007 + 13^2 + 13^2) 等的值聯絡起來。相同的公式將後一個序列與 n 值以 13^3 的間隔出現的序列聯絡起來——對於更大和更大的指數也是如此。（這些公式比僅僅說 p(n) 是質數的倍數要稍微微妙一些。）這種遞迴是分形結構的典型特徵，例如 曼德勃羅集 [請觀看上面的影片]，並且是數論中相當於放大分形，Ono 解釋說。
Ono 於 1 月 21 日在埃默裡大學專門召開的研討會上公佈了這些發現。到當天下午，這個訊息已經在數學界引起轟動，他的收件箱裡塞滿了來自數學家、記者和“怪人”的 1,500 封電子郵件，他說。（Ono、Folsom 和 Kent 在美國數學研究所的網站上釋出了他們的證明，並將其提交給了一家期刊。Ono 說，Ono 和 Bruinier 的新公式的完整證明仍在撰寫中。）
“Ken 是一種現象，”賓夕法尼亞州立大學的劃分專家 George E. Andrews 評論道。Andrews 補充說，關於劃分的新的分形觀點“提供了一個幾年前沒有人預料到的上層結構。”
Ono 等人的發現有任何實際用途嗎？Andrews 說，很難預測。“通常，對基礎純數學的深刻理解需要一段時間才能滲透到應用中。”過去，為理解劃分而開發的方法後來已應用於物理問題，例如強核力理論或黑洞的熵。
與此同時，數學家們只能思考拉馬努金的思想。Ono 指出，他的許多主張已被證明是不正確的，但他的工作仍然闡明瞭當今數論學家研究的許多內容。“我們現在研究的所有這些東西，由於某種瘋狂的原因，都是拉馬努金預料到的，”他說。
“他是一位神奇的天才，”Andrews 補充說，“我們其餘的人都希望知道他是如何看得如此深刻的。”