編者按：本文最初發表於《大眾科學》1999年2月刊。我們釋出這篇文章是為了回應最近有關雷曼兄弟和美林證券的新聞。
個人投資者和專業的股票及貨幣交易員比以往任何時候都更清楚，任何金融市場中報出的價格都經常以令人心跳加速的速度變化。當市場似乎加速且波動性飆升時，財富在突然的活躍中被創造和損失。例如，去年 9 月，法國電信裝置製造商阿爾卡特公司的股票在一天內下跌了約 40%，並在接下來的幾天內又下跌了 6%。但在逆轉中，該股在第四天上漲了 10%。
本世紀大部分時間使用的經典金融模型預測，這種突如其來的事件永遠不應發生。現代投資組合理論是金融學的基石，它試圖在給定的風險水平下最大化回報。投資組合理論背後的數學原理以良性的忽視態度處理極端情況：它認為大的市場波動不太可能發生，或者不可能被考慮在內。誠然，投資組合理論可以解釋市場上 95% 的時間發生的事情。但是，如果人們同意重大事件是剩餘 5% 的一部分，那麼它所呈現的圖景並不能反映現實。一個不可避免的類比是一位在海上航行的水手。如果 95% 的時間天氣溫和，那麼水手可以忽視颱風的可能性嗎？
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投資組合理論背後的降低風險的公式依賴於許多苛刻且最終沒有根據的假設。首先，它們表明價格變化在統計上彼此獨立：例如，今天的價格對當前價格和明天的價格之間的變化沒有影響。因此，未來市場走勢的預測變得不可能。第二個假設是，所有價格變化都以符合標準鐘形曲線的模式分佈。鐘形形狀的寬度（以其西格瑪或標準差衡量）描繪了價格變化與均值的偏離程度；極端事件被認為極為罕見。實際上，颱風被定義為不存在。
金融資料是否整齊地符合這些假設？當然，它們永遠不會。股票或貨幣隨時間變化的圖表確實揭示了持續的小幅價格上漲和下跌的背景——但不如如果價格變化符合鐘形曲線那樣均勻。然而，這些模式僅構成圖表的一個方面。大量突然的巨大變化——圖表上的尖峰，像阿爾卡特股票一樣向上和向下飆升——從更溫和的擾動的背景中脫穎而出。此外，價格變動的幅度（包括大的和小的）可能在一年內保持大致恆定，然後突然波動性可能會在較長一段時間內增加。隨著市場動盪加劇，大的價格跳躍變得更加普遍——它們在圖表上成簇出現。
根據投資組合理論，這些巨大波動的機率將是百萬分之一的百萬分之一的百萬分之一的百萬分之一。（波動大於 10 個標準差。）但實際上，人們定期觀察到尖峰——通常每個月都會出現——它們的機率約為百分之幾。誠然，鐘形曲線通常被描述為正態——或者更準確地說，是正態分佈。但是，金融市場是否應該被描述為異常？當然不是——它們就是它們的樣子，而有缺陷的是投資組合理論。
現代投資組合理論對那些過於強烈地相信它的人構成危險，並且對理論家來說是一個強大的挑戰。儘管有時承認當前思維體系中的缺陷，但其追隨者認為，沒有其他假設可以透過數學建模來處理。這種論點引出了一個問題，即是否可以開發出對至少一些重大金融動盪特徵的嚴格定量描述。悲觀的答案是，大的市場波動是異常現象，是無法想象規律性的個別“天災”。修正主義者透過缺乏任何指導原則的小修小補來糾正現代投資組合理論中值得懷疑的假設，並且沒有充分改善情況。我自己的工作——進行了多年——採取了一個非常不同且絕對樂觀的立場。
我聲稱，金融價格的變動可以用源自我在分形幾何方面的工作的模型來解釋。分形——或其後來的闡述，稱為多重分形——並非旨在確定性地預測未來。但它們確實創造了更現實的市場風險圖景。鑑於最近大型投資基金（稱為對沖基金）面臨的困境，不調查提供更準確風險估計的模型將是愚蠢的。
多重分形與市場
分形和多重分形已經存在廣泛的數學基礎。分形模式不僅出現在證券的價格變化中，而且出現在星系在整個宇宙中的分佈、海岸線的形狀以及無數計算機程式生成的裝飾設計中。
分形是一種幾何形狀，可以分成若干部分，每個部分都是整體的縮小版本。在金融領域，這個概念不是一個無根的抽象概念，而是一個關於市場常識的理論重述——即，當市場圖表被放大或縮小時，股票或貨幣的變動看起來都一樣，以便它適合相同的時間和價格刻度。然後，觀察者無法分辨哪些資料涉及每週、每天或每小時變化的價格。這種品質將圖表定義為分形曲線，並提供了許多強大的數學和計算機分析工具。
更具體的關於部分與整體之間相似性的技術術語是自仿射性。此屬性與分形中更廣為人知的概念自相似性相關，在自相似性中，圖片的每個特徵都以相同的比例縮小或放大——任何訂購過照片放大的人都熟悉此過程。然而，金融市場圖表遠非自相似。在圖形的細節中，特徵的高度大於寬度——就像股票的各個價格上漲和下跌的刻度一樣——從整體到部分的轉換必須比垂直軸更多地縮小水平軸。對於價格圖表，這種轉換必須比價格刻度（垂直軸）更多地縮小時間刻度（水平軸）。整體與其部分之間的幾何關係被稱為自仿射關係。
不變屬性的存在並沒有受到大多數統計學家的重視。但它們是像我這樣的物理學家和數學家的摯愛，他們稱之為不變性，並且最樂於使用呈現出有吸引力的不變性屬性的模型。為了更好地理解我的意思，可以繪製一個簡單的圖表，該圖表以連續的步驟插入從時間 0 到稍後時間 1 的價格變化。間隔本身是任意選擇的；它們可以表示一秒、一小時、一天或一年。
該過程從價格開始，以直線趨勢線表示（圖示 1）。接下來，使用稱為生成器的折線來建立與金融市場中報出的價格的上下振盪相對應的模式。生成器由沿著直線趨勢線插入（插值）的三個部分組成。（少於三部分的生成器將無法模擬可以上下移動的價格。）在描繪了初始生成器之後，其三個部分透過三個較短的部分進行插值。重複這些步驟會重現生成器或價格曲線的形狀，但在壓縮比例下。水平軸（時間刻度）和垂直軸（價格刻度）都被擠壓以適合生成器每個部分的水平和垂直邊界。
永遠插值
插圖僅顯示了第一階段，儘管相同的過程仍在繼續。理論上，它沒有盡頭，但在實踐中，插值到小於交易交易之間的時間間隔是沒有意義的，交易交易可能在不到一分鐘的時間內發生。顯然，每個部分的形狀最終都大致像整體。也就是說，尺度不變性之所以存在，僅僅是因為它是內建的。新穎之處（和驚喜）在於這些自仿射分形曲線展現出豐富的結構——分形幾何和混沌理論的基礎。
一些選定的生成器產生所謂的單分形曲線，這些曲線展現出現代投資組合理論所包含的相對平靜的市場景象。但平靜僅在非常特殊的條件下盛行，而這些特殊條件僅由這些特殊的生成器滿足。這種過度簡化模型背後的假設是現代投資組合理論的核心錯誤之一。它很像一種海浪理論，禁止海浪的湧浪超過六英尺。
分形幾何的美妙之處在於，它使模型足夠通用，既可以重現表徵投資組合理論平靜市場的模式，也可以重現近幾個月動盪的交易條件。剛剛描述的建立分形價格模型的方法可以改變，以顯示市場活動如何加速和減速——波動性的本質。這種可變性是將字首“multi-”新增到單詞“fractal”的原因。
要從單分形建立多重分形，關鍵步驟是拉長或縮短水平時間軸，以便生成器的各個部分被拉伸或擠壓。與此同時，垂直價格軸可能保持不變。在圖示 2中，單分形生成器的第一部分逐漸縮短，這也為拉長第二部分提供了空間。在進行這些調整後，生成器變為多重分形（M1 到 M4）。市場活動在生成器的第一部分所代表的時間間隔內加速，而在與第二部分相對應的時間間隔內減速（圖示 3）。
這種對生成器的改變可以產生給定時期內價格波動的完整模擬，使用前面描述的插值過程。每次生成器的第一部分進一步縮短——並進行連續插值的過程——它都會生成一個圖表，該圖表越來越類似於動盪市場的特徵（圖示 4）。
此處顯示的單分形 (U) 圖表（在任何縮短之前）對應於投資組合理論家的模型中假設的平靜市場。沿著堆疊向下進行（M1 到 M4），每個圖表都進一步偏離該模型，展現出與近期交易相似的急劇、尖銳的價格跳躍和持續的大幅波動。為了使這些動盪市場的模型實現必要的真實感，每個生成器的三個部分都被打亂了——插圖中未顯示此過程。它的工作原理如下：想象一個骰子，骰子的每一面都帶有生成器各個部分的六個排列之一的影像。在每次插值之前，擲骰子，然後選擇出現的排列。
公司財務主管、貨幣交易員或其他市場策略師應該從這一切中得出什麼結論？現代投資組合理論描繪的圖景與價格的實際變動之間的差異顯而易見。價格不是連續變化的，並且在所有時間尺度上都劇烈波動。波動性——遠非一個可以忽略或輕易補償的靜態實體——是金融市場中發生的事情的核心。過去，貨幣經理人接受了現代投資組合理論的連續性和受約束的價格變動，因為缺乏強大的替代方案。但是，貨幣經理人不再需要表面上接受當前的金融模型。
相反，多重分形可以用於“壓力測試”投資組合。在這項技術中，多重分形背後的規則試圖建立與控制實際市場的未知規則相同的可變性模式。多重分形準確地描述了生成器的形狀與在真實市場資料圖表上發現的價格上下波動的模式之間的關係。
在實踐層面，這一發現表明，可以基於歷史市場資料開發分形生成器。實際使用的模型不只是檢查市場昨天或上週做了什麼。實際上，它是對市場波動的更現實的描述，在多重分形交易時間中稱為分數布朗運動。從該模型生成的生成器建立的圖表可以模擬基於先前市場活動的替代情景。
這些技術並沒有更接近於根據過去的記錄預測特定日期的價格下跌或上漲。但它們提供了市場可能做什麼的機率估計，並允許人們為不可避免的鉅變做好準備。新的建模技術旨在將秩序之光投射到看似難以穿透的金融市場叢林中。他們還認識到水手的警告，正如最近的事件所表明的那樣，值得注意：即使在最平靜的海面上，風暴也可能就在地平線上。