本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點。
“查爾斯·桑德斯·皮爾斯曾觀察到，在數學的其他任何分支中，專家都像在機率論中那樣容易犯錯。”
這是一篇由著名數學專欄作家馬丁·加德納於1959年10月在《大眾科學》雜誌上發表的文章的開頭。事實上，正如約翰·艾倫·保羅斯在去年一月號（“動物本能”[進展]）中觀察到的那樣，人類在評估機率時有時甚至比鴿子還糟糕。
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保羅斯是費城天普大學的數學家，他當時正在描述一個臭名昭著的棘手問題，即蒙提霍爾悖論。事實上，這個問題非常棘手，多年來，許多專業的數學家和統計學家都曾被它絆倒。許多人即使在被告知正確答案後，仍然反覆未能理解它。
根據《紐約時報》記者約翰·蒂爾尼》於1991年7月21日發表的一篇文章，此前一年，一位名叫瑪麗蓮·沃斯·薩文特的作家在雜誌上描述了蒙提霍爾問題及其不可思議的解決方案，之後她收到了大約10,000封信，其中大多數聲稱他們可以證明她是錯的。“最激烈的批評，”蒂爾尼寫道，“來自數學家和科學家，他們一會兒幸災樂禍地嘲笑她（‘你是那隻山羊！’），一會兒又哀嘆這個國家的數學盲。”
果然，在保羅斯在《大眾科學》雜誌上提到蒙提霍爾問題後，許多讀者（雖然遠不及10,000封）寫信抱怨他完全錯了，或者只是承認他們感到困惑。
一位讀者寫道：“保羅斯表現出對基本條件機率的奇怪的缺乏理解，因此他的文章是胡說八道。” 這位讀者補充說，保羅斯的錯誤動搖了他對該雜誌的信任。“你們評估投稿論文的程式是什麼？” 他寫道。這位讀者是一位退休的統計學教授。
因此，我們認為嘗試澄清一下情況可能是有價值的。這個蒙提霍爾問題是什麼，它到底複雜在哪裡？
蒙提霍爾問題是由一位美國統計學家於1975年提出的，作為受蒙提霍爾的問答節目“讓我們來做個交易”啟發的機率論的測試研究。（學者們已經觀察到，蒙提霍爾問題在數學上與法國數學家約瑟夫·伯特蘭於1889年提出的一個問題相同——也與加德納在他1959年的文章中提出的一個問題（稱為三囚徒博弈）相同；稍後會詳細介紹。）讓我們聽聽保羅斯對這個遊戲的描述
節目中的嘉賓必須在三扇門中選擇一扇，其中一扇門後有獎品。嘉賓說出他的選擇，主持人開啟剩餘兩扇關閉的門中的一扇，總是小心翼翼地確保開啟的門後沒有獎品。嘉賓應該換到剩下的那扇關閉的門嗎？大多數人選擇堅持他們最初的選擇，這是錯誤的——切換會使他們獲勝的機會從 1/3 增加到 2/3。（嘉賓最初選擇正確的機率為 1/3，這不會改變。）即使在多次玩遊戲後，這將有充足的機會觀察到切換會使獲勝的機會增加一倍，但最近一項研究中的大多數人只在 2/3 的時間內進行了切換。鴿子做得更好。嘗試幾次後，鳥類學會了每次都切換。
但是等一下，您說：在蒙提開啟門後，只剩下兩個選項。那麼，每個選項的機率必須是 50-50，或 1/2，因此改變門的選擇沒有任何區別。
為了理解發生了什麼，我們首先必須做一些假設，因為就目前而言，問題的表述是模稜兩可的。因此，我們假設蒙提知道汽車在哪裡，並且在玩家選擇一扇門後，他總是開啟剩下的兩扇門中的一扇。此外，如果玩家的第一個選擇是一扇藏著山羊的門，那麼蒙提總是開啟另一扇藏著山羊的門；但是，如果玩家選擇了汽車，蒙提會在另外兩扇門之間隨機選擇一扇開啟，這兩扇門都藏著山羊。
想象一下你是玩家。你做出選擇：我們稱之為 1 號門。三分之一的時間，這將是放著汽車的門，剩下的 2/3 的時間（66.666...%）這將是放著山羊的門。你不知道你選擇了什麼，所以你應該制定一個策略，最大限度地提高你獲勝的總體機率。
假設你選擇了一扇藏著山羊的門。蒙提現在開啟另一扇藏著山羊的門——稱之為 2 號門——並問你是否想堅持選擇 1 號門，還是換到 3 號門（那是藏著汽車的那扇門）。顯然，在這種情況下，透過切換你將獲勝。但請記住，這種情況發生在 2/3 的時間內。
在剩下的 1/3 的時間內，如果你切換，你就會輸，無論蒙提接下來開啟哪扇門。但是，如果你採用始終切換的策略，無論如何，你都可以保證在 2/3 的時間內獲勝。
看起來很簡單，不是嗎？但是，如果您碰巧了解一點機率論，並且您拿出紙筆開始計算，您可能會開始懷疑這個結論，就像一位精通統計學的讀者所做的那樣。
（警告：這篇文章從這裡開始會變得更數學化。）
這位讀者使用條件機率分析了這個問題，條件機率使您能夠回答諸如“在事件 B 已經發生的情況下，事件 A 發生的機率是多少？”之類的問題。事件 A 的機率的常用符號是 P(A)，“給定 B 時 A 的機率”的符號是 P(A | B)。計算後者的公式是
P(A | B) = P(A 和 B 同時發生) / P(B)
這位讀者寫道
設 A 為獎品在 1 號門（最初選擇的門）後的事件，設 B 為獎品不在 2 號門（已開啟的門）後的事件。這裡，A 意味著 B，所以 P(A 和 B 同時發生) = P(A) = 1/3，而 P(B) = 2/3。因此 P(A | B) = (1/3) / (2/3) = 1/2。與保羅斯教授的說法相反，從 1 號門切換到 3 號門沒有任何好處。保羅斯教授說 P(A | B) = P(A) = 1/3 是錯誤的。
這種推理有什麼問題？它似乎完全合理，事實上它讓我頭疼了一個小時左右。但它是有缺陷的。
蒙提開啟哪扇門的機率取決於您作為玩家的最初選擇。如果您選擇了一扇藏著山羊的門，蒙提別無選擇：他被迫開啟另一扇藏著山羊的門。但是，如果您選擇了藏著汽車的門，蒙提必須擲硬幣（或類似的）才能決定開啟哪扇門。但在任何一種情況下，蒙提都會開啟一扇沒有獎品的門。因此，“獎品不在 2 號門（已開啟的門）後的事件”必然發生，這意味著 P(B) = 1。
因此，當我們應用該公式時，我們得到 P(A | B) = (1/3) / (1) = 1/3，而不是 1/2。汽車在 3 號門後的機率現在是 2/3，這意味著你最好切換。
蒙提霍爾悖論在數學上等同於加德納在 1959 年提出的“一個非常令人困惑的小問題，涉及三名囚犯和一名獄長”。以下是加德納的描述
三個人——A、B 和 C——被關在不同的牢房裡，被判處死刑，這時州長決定赦免其中一人。他把他們的名字寫在三張紙條上，把紙條放在帽子裡搖晃，抽出一張，然後打電話給獄長，要求將這位幸運者的名字保密幾天。這個傳言傳到了囚犯 A 的耳中。當獄長早上巡邏時，A 試圖說服獄長告訴他誰被赦免了。獄長拒絕了。
“那你告訴我，”A 說，“另一個將被處決的人的名字。如果要赦免 B，就告訴我 C 的名字。如果要赦免 C，就告訴我 B 的名字。如果我要被赦免，就擲硬幣來決定說出 B 還是 C 的名字。”
“但是，如果你看到我擲硬幣，”謹慎的獄長回答說，“你就會知道你是被赦免的那個人。如果你看到我沒有擲硬幣，你就會知道要麼是你，要麼是我沒有說出名字的那個人。”
“那就現在別告訴我，”A 說。“明天早上告訴我。” 獄長對機率論一竅不通，他那天晚上仔細考慮了一下，認為如果他按照 A 建議的程式去做，對 A 估計自己的生存機會沒有任何幫助。所以第二天早上，他告訴 A 說 B 將被處決。
獄長離開後，A 對獄長的愚蠢暗自一笑。現在，在數學家喜歡稱之為問題的“樣本空間”中，只有兩個等機率的元素。要麼是 C 被赦免，要麼是他自己，因此根據所有條件機率定律，他的生存機會已從 1/3 上升到 1/2。
獄長不知道 A 可以透過在水管上敲擊密碼與隔壁牢房的 C 通訊。A 照做了，向 C 解釋了他對獄長說了什麼，以及獄長對他說的話。C 對這個訊息同樣欣喜若狂，因為他認為，按照 A 使用的相同推理，他自己的生存機會也提高到了 1/2。
這兩個人推理正確嗎？如果不是，他們應該如何計算自己被赦免的機會？
加德納將答案留到了他的下一篇專欄文章中。