本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，僅反映作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點。
我第一次接觸高維空間有點虎頭蛇尾。那是我在羅馬上大學的最初幾天，我坐在一個階梯教室裡，上的是所有一年級數學系學生必修的課程之一。
我不記得教授說的確切的話，但一定是類似這樣的。* “設 x1, x2, … xn 為 n 個實數。有序集 (x1, …, xn) 是一個 n 維向量。所有 n 維向量的集合稱為 n 維向量空間 Rn。”
就這樣？沒有需要穿越的時空扭曲，沒有迷失在茫茫大海中的詹姆斯·T·柯克船長，也沒有神秘博士來做我們的嚮導？只是這個樸實無華的人，像稅務員列出要附在您的1040表格上的檔案一樣，給出正式的定義。（逐項扣除…W2…哦，我差點忘了：m維子空間。包括在內，但不要裝訂。）
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教授向我們介紹了人類有史以來最令人震驚的想法之一，但他這樣做時沒有事先通知，沒有強調語氣，甚至連語調都沒有改變。
在隨後的幾年裡，在羅馬-拉薩皮恩扎大學，以及後來的研究生院，我花了比我可能想象的更多的時間來認真思考高維空間、居住在其中的奇怪物體以及研究它們的傑出頭腦。我的畢業論文和博士論文都將完全以 n 維空間為背景。後來，當我離開學術界，成為一名記者，然後成為一名編輯時，我才意識到向“未入門者”解釋這些概念有多麼困難。
事實上，我瞭解到，對我來說，傳達我非常熟悉的想法，往往比傳達我剛剛瞭解的想法更難——正如記者所說，這就是“離故事太近”的現象。這也是為什麼在我的轉變，從數學家到作家的幾年後，我很少寫關於數學的文章，而是專注於報道物理學、宇宙學、考古學和其他主題的原因之一。
儘管多年來，高維空間的許多不同方面以不同的方式伴隨著我，但基本思想都包含在我一年級教授給出的兩行定義中。這就是自由度的概念。
每個額外的維度都會增加一個自由度，這讓您可以移動到以前無法到達的地方或以以前無法實現的方式移動。（順便說一句，這基本上就是空間三個方向“線性無關”的含義。）
人們無法“看到”比通常三個維度更多的維度，原因是，嗯，人們看不到它們。我們的大腦被設計用來幫助我們導航三維世界，並且沒有空間在其中視覺化更多維度。
在這裡我要糾正自己：我們的大腦不是被訓練來看到更多維度的。在我計劃很快寫的一篇文章中，我將討論在我看來，人類應該能夠構建超過三個維度的空間的心理地圖。在做到這一點之前，數學家們使用各種技巧來，在某種意義上，視覺化額外的維度，而無需真正視覺化它們，正如我將在另一篇未來的文章中描述的那樣。
但是正如數學家和物理學家早在 19 世紀就發現的那樣，高維空間在理論和實踐中都具有根本的重要性。它們是研究幾何學和各種其他數學結構的完全合法的場所。它們是解決與我們的三維世界相關的問題不可或缺的工具。
例如，太陽系中行星的運動最好透過跟蹤 60 維空間中單個點的軌跡來理解（六個自由度——三個用於位置，其餘用於動量——對於九個行星加上太陽中的每一個）。現代基本粒子理論和力都基於額外的“內部”自由度。
部落格正成為數學研究本身的重要工具，大多數與數學相關的部落格都面向專家。一些數學部落格確實迎合了更廣泛的公眾，有些方式相當創新。特別是Vi Hart，在我看來，開發了一種全新的媒介——與其說是部落格，不如說是一種沉浸式體驗，進入作者的頭腦，在她紙上塗寫東西的時候。（塗鴉部落格？）
對於一個大眾數學部落格來說，很難避免收集常青的數學奇聞——黃金比例、分形、摺紙、數獨、埃舍爾面板和其他旨在展示“數學和藝術最終是同一件事”的影像。（正如我可能在未來的文章中討論的那樣，我碰巧認為它們不是。）在某種程度上，這個部落格也不例外。
和其他部落格一樣，《自由度》除了對時事進行“數學角度”的解讀外，還將包括偶爾的咆哮、狂歡、酷炫圖片、突發新聞、採訪、書評、客座文章、喜愛連結列表等等。但我向讀者保證，該部落格將名副其實，並在新的方向上發展——以讀者以前從未見過的方式探索交叉領域的數學和物理學。
例如，我計劃描述那些“看到”高維空間的技巧如何幫助您視覺化宇宙的膨脹；或瞭解當我們觀察大爆炸的餘輝時，我們看到了什麼，也就是宇宙微波背景輻射；或弦理論中奇異的“卡拉比-丘空間”。
最後一點說明，這對年輕讀者來說可能意義不大，但可能會向老牌《大眾科學》的訂閱者澄清我的意圖：《自由度》不是也永遠不可能成為馬丁·加德納的部落格。我這樣說，不僅僅是指我顯然不是那個在四分之一世紀裡以他“數學遊戲”專欄無與倫比的清晰度、原創性和權威性讓雜誌讀者感到高興的人。我的意思還包括，儘管這在某種意義上是《大眾科學》的數學專欄，但我並不打算模仿、效仿或重演最初激勵我們中的一些人成為數學家（或物理學家、計算機科學家、工程師——隨便你怎麼稱呼）的那個專欄。
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關於“自由度”的標誌：馬丁·加德納的“數學遊戲”專欄曾登上 1959 年 11 月《大眾科學》的封面。（數學專欄登上封面並不罕見。那是過去的年代。）主題是希臘-拉丁方陣，這是一種用彩色方塊展示的組合遊戲。十種不同顏色中的每一種都在每一行上作為外方塊出現一次，在每一行上作為內方塊出現一次。同樣，每種顏色在每一列上都作為內方塊和外方塊出現一次。正方形的布面油畫是由當時雜誌的 штатный 美術師 Еми Касай 繪製的。
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*向量空間的定義不會在考試中出現。實際上，什麼都不會考，因為不會有考試。但如果您好奇，這就是教授所說的“n 維向量” (x1, … , xn) 的意思：這只是數學家們使用的一種方便的符號，當他們想指出您有 n 個數字時，並且數字 n 可能是無限多個自然數（1、2、3、4、5 等）中的任何一個，因此您最好省略中間的 x，並用點代替它們，因為您還沒有決定到底有多少個。更重要的是，您寫的任何包含 n 的陳述通常都應該適用於無限多種可能的情況。