本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
多年來，宇宙學家一直在思考我們的宇宙可能只是漂浮在無形虛空中的無數氣泡中的一個。當他們說“無數”時，他們真的是這個意思。這些宇宙太難計數了。針尖上的天使與此相比算不了什麼。在無限集合中沒有明確的方法來計數，這可不好，因為如果你不能計數，你就不能計算機率，如果你不能計算機率，你就不能做出經驗預測，如果你不能做出經驗預測，你就不敢在科學家的葡萄酒和乳酪派對上直視任何人。在去年的一篇《大眾科學》文章中，宇宙學家保羅·斯坦哈特認為，這種計數危機，或者說“測度問題”，是質疑預測泡泡宇宙的理論的理由。
其他宇宙學家認為他們只是需要學習如何更好地計數。今年 4 月，我參加了倫納德·薩斯金德的講座（上圖中的剪影），他十年來一直在爭論，你不需要計算所有的平行宇宙，只需要計算那些能夠影響你的宇宙。忘記那些因果斷開的宇宙，你也許有機會恢復你的經驗主義信譽。薩斯金德說：“我認為因果結構至關重要。”他介紹了他去年與另外三位斯坦福物理學家丹尼爾·哈洛、史蒂夫·申克和道格拉斯·斯坦福一起完成的一項研究。我沒有完全理解他所說的每件事，但我被他引用的一種數學方法迷住了，這種方法被稱為p進數。當我開始深入研究時，我發現這些數字激發了基礎物理學中的一個完整的分支，不僅涉及平行宇宙，還涉及時間箭頭、暗物質以及空間和時間可能的原子本質。
如果你認為平行宇宙的整個概念一開始就註定失敗，那麼宇宙學家有充分的理由認為我們的宇宙只是一個龐大而功能失調的家庭中的一員。我們看到的宇宙在其最大尺度上是平滑且均勻的，但它的存在時間還不夠長，無法透過任何普透過程使其均勻化。它一定是從一個更大、更古老的系統中繼承了它的平滑性和均勻性，這個系統充滿了暗能量，驅動空間快速膨脹並使其均勻化，這個過程被稱為宇宙暴脹。暗能量還會使系統不穩定，並導致宇宙像雲中的雨滴一樣成核析出。瞧，我們的宇宙誕生了。
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其他氣泡也在不斷地成核。每個氣泡都獲得了自己的暗能量，並能產生新的氣泡，氣泡內有氣泡，氣泡內又有氣泡，形成無盡的宇宙泡沫。甚至我們的宇宙也有一點暗能量，可以產生新的氣泡。嬰兒氣泡之間的空間不斷膨脹，使它們彼此隔離。一個氣泡只與其母體接觸。
這個過程產生了一個宇宙的家譜。這個樹是分形的：無論你放大多少倍，它看起來都是一樣的。事實上，這棵樹與所有最著名的分形之一，康託集，非常相似。
在一個簡化的例子中，如果你從一個單一的宇宙開始，到第N代，你就有 2N 個宇宙。你用一個二進位制數來標記每個宇宙在結構中的位置。在第一個氣泡成核之後，你有兩個宇宙，氣泡的內部和外部：0 和 1。在第一代中，宇宙 0 產生 00 和 10，宇宙 1 產生 01 和 11。然後，宇宙 00 產生 000 和 100，以此類推。
這個過程會永遠持續下去，接近一個由具有無限位數的數字索引的宇宙連續體（圖中頂部的紅線）。有趣的是，這些數字不是像 1.414 ( 2) 或 3.1415 ( ) 這樣的標準無限位數字，數學家稱之為“實數”，即你在小學數軸上找到的數字。相反，它們是所謂的 2 進數，具有非常不同的數學特性。在更一般的設定中，每個宇宙可以分叉成 p 個宇宙，而不僅僅是兩個，因此使用了通用術語 p 進數。
數學家在 19 世紀後期提出了 p 進數，作為除了實數之外的另一種方法，來填充整數和整數分數之間的空間，以形成一個不間斷的數字塊。事實上，俄羅斯數學家亞歷山大·奧斯特羅夫斯基證明了 p 進數是實數的唯一替代品。
不幸的是，數學家們在正式定義、定理、引理和推論之下很好地掩蓋了它的美，這些定義、定理、引理和推論點綴了每一個 ‘i’，但從未告訴你它們到底是什麼意思。（我的數學家朋友也抱怨說，數學教科書讀起來和軟體許可協議一樣乏味。）直到我聽到薩斯金德用計算平行宇宙的方式來描述時，我才瞭解 p 進數是什麼，並欣賞它們純粹的強大之處。
p 進數與實數的區別在於距離的定義。對於它們來說，距離是血緣關係的程度：兩個 p 進數之所以接近，是因為它們在家族樹中有一個最近的共同祖先。在數值上，如果兩個點在第N代中有一個共同的祖先，那麼這些點之間的距離為 1/2N。例如，要找到數字 000 和 111 的共同祖先，你必須一直追溯到樹的根部（N=0）。因此，這些數字之間的距離為 1，即多元宇宙的整個寬度。對於數字 000 和 110，最近的共同祖先是第一代（N=1），因此距離是 1/2。對於 000 和 100，距離是 1/4。
換句話說，如果有人給你兩個 p 進數，你使用以下過程確定它們之間的距離。把它們排成一行，一個在另一個的上面。比較最右邊的位。如果它們不同，就停止！你完成了。距離是 1。如果它們相同，則向左移動並比較下一個位。如果它們不同，就停止！距離是 1/2。繼續進行，直到找到第一個不同的位。這個位，而不是其他任何位，決定了距離。
這個距離規則會擾亂你的思維。兩個看起來很接近的平行宇宙可能相距很遠，因為它們位於樹的不同分支上。同樣，兩個看起來相距很遠的點可能很接近。在左圖所示，宇宙 “B” 比 “A” 更接近宇宙 “C”。更重要的是，數字 100 小於數字 10，因為它更靠近多元宇宙的最左側。使用 p 進數，您可以透過在數字的左側新增數字而不是在右側新增數字來獲得精度。因此，數學家安德魯·裡奇和本科生馬修·鮑曼將它們稱為“左派數字”。
p 進數可以像任何其他自尊的數字一樣進行加、減、乘和除運算，但它們的左派傾向改變了規則，並使算術出乎意料地更容易。要加兩個 p 進數，您從最重要的數字（在右側）開始，然後從右向左逐個新增它們。另一方面，對於實數，您從最不重要的數字開始，並且如果您的數字具有無限位數字，例如 ，您就無能為力了。
這種怪異之處不止於此。考慮三個 p 進數。您可以將它們視為三角形的三個角。奇怪的是，三角形的至少兩條邊必須具有相同的長度；與實數不同，p 進數不允許您使所有邊都不同。原因從樹狀圖中可以明顯看出：從一個數字到另外兩個數字只有一條路徑，因此最多有兩個共同的祖先，因此最多有兩個不同的長度。在術語中，p 進數是“超度量的”。最重要的是，距離始終是有限的。沒有 p 進數無窮小，或者無限小的距離，例如你在高中微積分中看到的 dx 和 dy。在行話中，p 進數是“非阿基米德的”。數學家不得不為它們創造一種全新的微積分型別。
在多元宇宙研究之前，非阿基米德性是物理學家費心解讀那些數學教科書的主要原因。理論家認為，自然界也沒有無限小的距離；存在一些最小的可能距離，普朗克尺度，在這個尺度以下，引力如此強烈，以至於使整個空間概念毫無意義。處理這種粒度一直困擾著理論家。實數可以一直細分為零大小的幾何點，因此它們不適合描述粒狀空間；嘗試將它們用於此目的往往會破壞現代物理學所基於的對稱性。
理論學家認為，透過使用p進數重寫他們的方程，他們可以以一種一致的方式捕捉到這種粒度，正如莫斯科斯捷克洛夫數學研究所的伊戈爾·沃洛維奇在1987年提出的觀點。由此產生的動力學甚至可能解釋暗物質和宇宙膨脹的機制。
很自然地，物理學家在找到了新的玩具後，立即想知道如何破壞它。薩斯坎德和他的同事們拿出了平行宇宙的樹，砍掉了一些樹枝，並弄清楚了它將如何變形p進數。那些被修剪掉的樹枝代表了不育的嬰兒宇宙：那些誕生時具有零暗能量或負密度物質的宇宙。正如修剪一棵真正的樹可能看起來具有破壞性，但實際上有助於它生長一樣，修剪宇宙之樹會破壞其對稱性，但這樣做是出於好的目的：該團隊認為，它可以解釋為什麼時間是單向的，為什麼過去不同於未來。
p進數是一個案例研究，說明了數學家為了自身的美麗而發明的概念，可能會與現實世界產生某種聯絡。更棒的是，它們可能比實數更真實。
照片由Gary Smaby提供。氣泡圖由George Musser提供。樹形圖由斯坦福大學的Daniel Harlow提供。