我們大多數人都認為數學的有效性是理所當然的——科學家可以設計公式來描述亞原子事件，工程師可以計算航天器的路徑。我們接受最初由伽利略提出的觀點，即數學是科學的語言，並期望其語法能夠解釋實驗結果，甚至預測新的現象。然而，數學的力量簡直令人震驚。例如，考慮一下蘇格蘭物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋著名的方程組：這四個表示式不僅總結了19世紀60年代所有關於電磁學的知識，還在德國物理學家海因裡希·赫茲探測到無線電波的二十年前就預見到了無線電波的存在。極少有語言如此有效，能夠如此簡潔而精確地表達大量材料。阿爾伯特·愛因斯坦曾思考：“數學作為人類思想的產物，獨立於經驗，但卻如此出色地契合物理現實的客體，這怎麼可能呢？”
作為一名理論天體物理學家，我每一步工作都會遇到諾貝爾獎得主物理學家尤金·維格納在1960年所稱的“數學令人費解的有效性”。無論我是在努力理解哪些前身系統產生了被稱為 Ia 型超新星的恆星爆炸，還是在計算我們的太陽最終變成紅巨星時地球的命運，我使用的工具和我開發的模型都是數學的。數學以其不可思議的方式捕捉自然世界，這在我的整個職業生涯中都讓我著迷，大約在10年前，我決心更深入地研究這個問題。
這個謎團的核心在於數學家、物理學家、哲學家和認知科學家們幾個世紀以來一直在爭論的一個論點：數學是像愛因斯坦認為的那樣，是一套被髮明的工具嗎？還是它實際上存在於某個抽象領域，人類僅僅是發現了它的真理？包括大衛·希爾伯特、格奧爾格·康托爾和以尼古拉·布林巴基為名的團體在內的許多偉大的數學家都認同愛因斯坦的觀點，這與一個被稱為形式主義的思想流派有關。但其他傑出的思想家——其中包括戈弗雷·哈羅德·哈代、羅傑·彭羅斯和庫爾特·哥德爾——則持有相反的觀點，即柏拉圖主義。
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關於數學本質的這場辯論至今仍在繼續，似乎難以找到答案。我認為，僅僅簡單地詢問數學是被髮明還是被發現的，我們就忽略了一個更復雜的答案的可能性：發明和發現都起著至關重要的作用。我假設它們共同解釋了為什麼數學如此有效。儘管消除發明和發現之間的二分法並不能完全解釋數學令人費解的有效性，但問題是如此深刻，以至於即使朝著解決問題邁出部分步伐也是進步。
發明與發現
數學在兩種截然不同的方式上具有令人費解的有效性，一種我認為是主動的，另一種是被動的。有時，科學家專門建立方法來量化現實世界的現象。例如，艾薩克·牛頓為了捕捉運動和變化，並將它們分解為無限小的逐幀序列，而提出了微積分。當然，這種主動的發明是有效的；畢竟，這些工具是按需定製的。然而，令人驚訝的是它們在某些情況下的驚人準確性。例如，以量子電動力學為例，它是為描述光和物質如何相互作用而開發的數學理論。當科學家用它來計算電子的磁矩時，理論值與最新的實驗值（在2008年以適當單位測量為 1.00115965218073）在萬億分之幾的範圍內一致！
也許更令人驚訝的是，數學家有時會開發整個研究領域，而沒有考慮到任何應用，但幾十年甚至幾個世紀後，物理學家發現這些分支可以解釋他們的觀察結果。這種被動有效性的例子比比皆是。例如，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦在19世紀初發展了群論，其唯一目的是確定多項式方程的可解性。廣義地說，群是由物件集合（例如，整數）組成的代數結構，這些物件在某種運算（例如，加法）下結合在一起，並遵循特定的規則（其中包括諸如 0 之類的單位元素的存在，該元素與任何整數相加時，都會返回相同的整數）。在20世紀的物理學中，這個相當抽象的領域被證明是分類基本粒子（物質的組成部分）最有效的方法。在20世紀60年代，物理學家默裡·蓋爾-曼和尤瓦爾·內埃曼獨立地表明，一個特定的群，稱為 SU(3)，反映了亞原子粒子（稱為強子）的行為——這種聯絡最終為原子核如何結合在一起的現代理論奠定了基礎。
結的研究提供了另一個美麗的被動有效性例子。數學上的結類似於日常的結，只是它們沒有鬆散的端頭。在19世紀60年代，開爾文勳爵希望將原子描述為以太的打結管。那個被誤導的模型未能與現實聯絡起來，但數學家們在接下來的幾十年裡繼續分析結，僅僅將其作為純數學的一個深奧的分支。令人驚訝的是，結理論現在為弦理論和圈量子引力提供了重要的見解——我們目前最好地嘗試闡明一種時空理論，該理論將量子力學與廣義相對論相協調。同樣，英國數學家哈代在數論方面的發現推動了密碼學領域的發展，儘管哈代早些時候宣稱“沒有人發現數論有任何可用於戰爭的目的”。1854年，伯恩哈德·黎曼描述了非歐幾何——平行線會聚或發散的奇特空間。半個多世紀後，愛因斯坦引用了這些幾何學來構建他的廣義相對論。
一種模式正在顯現：人類透過從周圍世界中抽象元素——形狀、線條、集合、群等等——來發明數學概念，無論是為了某種特定目的還是僅僅為了樂趣。然後，他們繼續發現這些概念之間的聯絡。由於這種發明和發現的過程是人為的——不同於柏拉圖主義者所贊同的那種發現——我們的數學最終是基於我們的感知和我們可以想象的心理影像。例如，我們擁有一種稱為次覺的與生俱來的天賦，可以立即識別數量，這無疑導致了數字概念的產生。我們非常擅長感知單個物體的邊緣，以及區分直線和曲線以及不同形狀，例如圓形和橢圓形——這些能力可能導致了算術和幾何的發展。同樣，人類反覆經歷的因果關係至少部分地促成了邏輯的創造，以及某些陳述暗示其他陳述的有效性的概念。
選擇與進化
20世紀最偉大的數學家之一邁克爾·阿蒂亞提出了一個優雅的思想實驗，揭示了感知如何影響我們接受哪些數學概念——即使是像數字這樣看似基本的概念。德國數學家利奧波德·克羅內克曾著名地宣稱：“上帝創造了自然數，其餘一切都是人類的工作。”但想象一下，如果我們世界中的智慧不是存在於人類身上，而是存在於一隻奇異的、與世隔絕的水母身上，漂浮在太平洋深處。它經驗中的一切都將是連續的，從周圍水流的流動到其溫度和壓力的波動。在這樣的環境中，缺乏單個物體或任何離散事物，數字的概念會產生嗎？如果沒有任何東西可以計數，數字會存在嗎？
就像水母一樣，我們採用了適用於我們世界的數學工具——這一事實無疑促成了數學被感知的有效性。科學家們並非隨意選擇分析方法，而是根據它們預測實驗結果的程度來選擇。當網球發球機射出球時，您可以使用自然數 1、2、3 等來描述球的通量。然而，當消防員使用軟管時，他們必須呼叫其他概念，例如體積或重量，才能對水流進行有意義的描述。同樣，當不同的亞原子粒子在粒子加速器中碰撞時，物理學家會轉向能量和動量等度量，而不是最終的粒子數量，因為最終的粒子數量只會揭示有關原始粒子如何碰撞的部分資訊，因為在這個過程中可能會產生額外的粒子。
隨著時間的推移，只有最好的模型才能生存下來。失敗的模型——例如法國哲學家勒內·笛卡爾試圖用宇宙物質漩渦來描述行星運動——在其嬰兒期就夭折了。相反，成功的模型會隨著新資訊的出現而進化。例如，對水星行星進動的非常精確的測量需要以愛因斯坦的廣義相對論的形式徹底修改牛頓的引力理論。所有成功的數學概念都具有很長的保質期：球體表面積的公式今天仍然像阿基米德在公元前 250 年左右證明它時一樣正確。因此，任何時代的科學家都可以搜尋大量的形式體系，以找到最合適的方法。
科學家不僅會精挑細選解決方案，他們還傾向於選擇易於數學處理的問題。然而，存在著大量現象，對於這些現象，不可能進行準確的數學預測，有時甚至原則上也不可能。例如，在經濟學中，許多變數——以大眾的詳細心理為例——不容易進行定量分析。任何理論的預測價值都取決於變數之間潛在關係的恆定性。我們的分析也未能完全捕捉到發展出混沌的系統，在混沌系統中，初始條件的微小變化可能會產生完全不同的最終結果，從而禁止任何長期預測。數學家們已經發展出統計學和機率論來處理這些缺點，但正如奧地利邏輯學家哥德爾著名地證明的那樣，數學本身是有限的。
自然的對稱性
這種對問題和解決方案的精心選擇僅僅部分解釋了數學在描述自然規律方面的成功。這些規律必須首先存在！對於數學家和物理學家來說幸運的是，普遍規律似乎支配著我們的宇宙：120 億光年外的原子與地球上的原子的行為方式完全相同；遙遠過去的宇宙中的光和今天的光具有相同的特徵；塑造宇宙初始結構的相同引力也支配著今天的星系。數學家和物理學家發明了對稱性的概念來描述這種對變化的免疫力。
物理定律似乎在空間和時間上都表現出對稱性：它們不取決於我們從哪個角度、哪個角度或何時檢查它們。它們對於所有觀察者來說也是相同的，無論這些觀察者是靜止的、以恆定速度移動的還是加速的。因此，無論實驗發生在中國、阿拉巴馬州還是仙女座星系——也無論我們今天進行實驗還是其他人在十億年後進行實驗，相同的定律都能解釋我們的結果。如果宇宙不具備這些對稱性，那麼任何試圖破譯自然宏偉設計的嘗試——任何建立在我們觀察基礎上的數學模型——都將註定失敗，因為我們將不得不不斷地在空間和時間的每個點重複實驗。
甚至更微妙的對稱性，稱為規範對稱性，在描述亞原子世界的定律中普遍存在。例如，由於量子領域的模糊性，給定的粒子可以是帶負電的電子或電中性的中微子，或者是兩者的混合物——直到我們測量出區分兩者的電荷。事實證明，當我們將電子換成中微子或兩者的任何混合物時，自然規律都採用相同的形式。其他基本粒子的互換也是如此。如果沒有這種規範對稱性，就很難提供宇宙基本運作的理論。如果沒有局域性——宇宙中的物體直接只受其直接周圍環境的影響，而不是受遙遠現象的影響這一事實，我們也會同樣陷入困境。由於局域性，我們可以嘗試組裝宇宙的數學模型，就像我們可能拼湊拼圖遊戲一樣，從描述基本粒子之間最基本的作用力開始，然後在額外的知識基礎上構建。
我們目前統一所有相互作用的最佳數學嘗試呼籲另一種對稱性，稱為超對稱性。在基於超對稱性的宇宙中，每個已知的粒子都必須有一個尚未被發現的夥伴。如果這樣的夥伴被發現（例如，一旦日內瓦附近 CERN 的大型強子對撞機達到其全部能量），那將是數學有效性的又一次勝利。
我從兩個基本的、相互關聯的問題開始：數學是被髮明還是被發現的？是什麼賦予了數學解釋和預測能力？我相信我們知道第一個問題的答案。數學是發明和發現的複雜融合。概念通常是被髮明的，即使它們之間所有正確的關係在被發現之前就已存在，人類仍然選擇了研究哪些關係。第二個問題被證明更加複雜。毫無疑問，我們在數學上解決的主題的選擇在數學被感知的有效性中發揮了重要作用。但是，如果沒有普遍存在的特徵可供發現，數學根本就行不通。您現在可能會問：為什麼會存在普遍的自然規律？或者等效地問：為什麼我們的宇宙受某些對稱性和局域性支配？我真的不知道答案，只能指出，也許在一個沒有這些屬性的宇宙中，複雜性和生命永遠不會出現，而我們也不會在這裡提出這個問題。