2013年1月22日

無窮的永恆：數學的力量與美

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，僅反映作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

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我所受到的最大的智力衝擊是在高中時。有人送給我一本物理學家喬治·伽莫夫的經典著作《一二三...無窮大》。伽莫夫不僅是一位傑出的科學家，也是二十世紀後期最偉大的科學普及者之一。在他的書中，我遇到了我所知的最深刻、最引人入勝的純粹智力事實；數學允許我們比較“不同的無窮大”這一事實。這個想法將永遠讓我感到敬畏和驚奇，我認為這是對科學，尤其是數學，能夠揭示的奇異而完全違反直覺的世界的最終致敬。

伽莫夫首先提醒我們注意非洲的霍屯督部落。這個部落的成員正式計數不能超過三。那麼，他們如何比較數量超過三的商品，例如動物呢？透過採用最合乎邏輯和最原始的計數方法之一——一一對應計數法，或者更簡單地說，透過將物體彼此配對。因此，如果一個霍屯督人有十隻動物，她想將這些動物與競爭部落的動物進行比較，她會將每隻動物與其對應物配對。如果她自己的收藏中還剩下動物，她就贏了。如果競爭對手的收藏中還剩下動物，她就不得不承認競爭部落在綿羊方面的優勢。值得注意的是，這種最簡單的計數方法使得偉大的德國數學家格奧爾格·康托爾發現了純粹思維所能發現的最令人震驚和違反直覺的事實之一。考慮自然數集 1、2、3……現在考慮偶數集 2、4、6……如果被問及哪個集合更大，常識會很快指向前者。畢竟，自然數集既包含偶數和奇數，這當然會大於僅僅是偶數集，不是嗎？但是，如果現代科學和數學揭示了關於宇宙的一件事，那就是宇宙經常讓常識顛倒。這裡的情況就是這樣。讓我們使用霍屯督方法。將自然數和偶數排成一行，並將它們配對。

1 2 3 4 5…

2 4 6 8 10…

因此，1 與 2 配對，2 與 4 配對，3 與 6 配對，依此類推。現在很明顯，每個自然數 n 將始終與一個偶數 2n 配對。因此，自然數集等於偶數集，這個結論似乎與常識相悖，並擊碎了常識的面目。我們可以進一步擴充套件這個結論。例如，考慮自然數的平方集，這個集合似乎比偶數集“更小”。透過類似的配對，我們可以證明每個自然數 n 都可以與其平方 n² 配對，再次證明了這兩個集合的相等性。現在你可以使用這種方法，建立各種等式，例如整數（所有正數和負數）與平方數的等式。

但是康托爾使用這項技術所做的事情遠比有趣的配對深刻得多。自然數集是無限的。偶數集也是無限的。然而，它們可以進行比較。康托爾表明，兩個無窮大實際上是可以比較的，並且可以證明彼此相等。在康托爾之前，無窮大隻是“無限”的代名詞，這是一個模糊的概念，超出了人類想象視覺化的範圍。但是康托爾表明，無窮大可以進行數學上的精確量化，可以用簡單的符號表示，並且或多或少像一個有限數一樣表達。事實上，他發現了一種精確的對映技術，透過這種技術可以定義某種無窮大。根據康托爾的定義，任何與自然數存在一一對映或對應關係的無限物件集都稱為“可數”無限物件集。這種對應關係需要嚴格的一一對應，並且需要是詳盡的，也就是說，對於第一個集合中的每個物件，都必須在第二個集合中有一個對應的物件。因此，自然數集是衡量其他無限集“大小”的標尺。這種可數無窮大用一個稱為集合“基數”的度量來量化。自然數集以及所有透過一一對映與其等價的集合的基數稱為“阿列夫零”，用符號 ℵ₀ 表示。

自然數集以及奇數和偶數集構成了“最小”的無窮大，它們都具有 ℵ₀ 的基數。那些看起來大小差異很大的集合現在都可以被宣佈為彼此等價，並被簡化為一個單一的分類。這是一項偉大的成就。

康托爾無窮大的複雜性促使偉大的數學家大衛·希爾伯特提出了一個有趣的場景，稱為“希爾伯特旅館”。假設你正在長途旅行，疲憊不堪、飢腸轆轆，來到一家看起來不錯的旅館。這家旅館看起來和任何其他旅館一樣，但有一個問題：讓你非常高興的是，它包含可數無限個房間。因此，現在當前臺經理說“對不起，我們客滿了”時，你已經準備好回應他了。你只需告訴他將第一位客人移到第二間房間，第二位客人移到第三間房間，依此類推，第 n^個客人移到第 (n+1)^個房間。簡單！但是，如果你有朋友陪伴呢？事實上，如果你非常受歡迎，以至於有可數無限個朋友陪伴你呢？沒問題！你只需要求經理將第一位客人移到第二間房間，第二位客人移到第四間房間，第三位客人移到第六間房間……第 n^個客人移到第 2n^個房間。現在所有奇數編號的房間都空了，而且由於我們已經知道奇數集是可數無限的，這些房間將很容易容納你所有可數無限的客人，讓你更受歡迎。數學可以像其他任何事物一樣彎曲物質世界的規律。

但是之前的討論留下了一個令人困擾的問題。既然我們所有的無窮大都是可數無限的，那麼是否存在像“不可數”無限集這樣的東西呢？事實上，這樣的無窮大甚至會是什麼樣的呢？接下來的討論可能構成了無窮大皇冠上的寶石，當我讀到它時，它讓我心中充滿了無限的驚奇。

讓我們考慮實數集，實數是用小數點定義的數字，如 a.bcdefg... 實數由有理數和無理陣列成。這個集合是可數無限的嗎？根據康托爾的定義，為了證明這一點，我們必須證明實數集和自然數集之間存在一一對映。這可能嗎？好吧，假設我們有一個無窮無盡的有理數列表，例如 2.823、7.298、4.001 等。現在將這些數字中的每一個與自然數 1、2、3……配對，在這種情況下，只需對它們進行計數即可。例如

S1 = 2.823

S2 = 7.298

S3 = 4.001

S4 = …

我們是否證明了有理數是可數無限的？不盡然。這是因為我可以使用以下方法構造一個不在列表中的新實數：構造一個新實數，使其與第一個實數的第一個小數位不同，與第二個實數的第二個小數位不同，與第三個實數的第三個小數位不同……與第 n 個實數的第 n 個小數位不同。因此，對於上面三個數字的例子，新數字可以是

S0 = 3.942

（9 與 S1 中的 8 不同，4 與 S2 中的 9 不同，2 與 S3 中的 1 不同）

因此，給定一個從 1、2、3……開始計數的實數無限列表，人們總是可以構造一個不在列表中的數字，因為它將與第一個數字的第一個小數位、第二個數字的第二個小數位……以及第 n 個數字的第 n 個小數位不同。

康托爾將這個論證稱為“對角線論證”，因為它實際上是從一條對角線穿過列表中每個數字小數點後所有相關數字的線構造一個新的實數。維基百科頁面上的圖片使畫面更清晰

在此圖中，新數字是從對角線上的紅色數字構造的。很明顯，新數字 Eu 將與列表中的每個數字 E1…En 都不同。對角線論證是一種非常簡單而優雅的技術，可用於證明一個深刻的真理。

透過這種比較，康托爾取得了一些令人驚歎的成就。他表明，一個無窮大可以大於另一個無窮大，事實上，它可以無限地大於另一個無窮大。這真的給常識棺材釘上了釘子，因為“兩個無窮大的比較”在不知情的人看來是荒謬的。但是我們關於集合的直覺觀念在無窮大面前崩潰了。類似的論證可以證明，雖然有理數是可數無限的，但無理數是不可數無限的。這導致了另一個令人震驚的比較；它告訴我們，數軸上 0 和 1 之間包含實數（表示為 [0, 1]）的微小線段“大於”整個自然數集。我從未見過比這更壯觀的大衛擊敗歌利亞的例子。

不可數無限的實數集與可數無限的物件（如自然數，用 ℵ₀ 表示）的基數具有不同的基數。因此，人們可能會從邏輯上期望實數的基數用 ℵ1 表示。但與往常一樣，現實挫敗了邏輯。這個基數實際上用“c”表示，而不是預期的 ℵ1。我無法理解為什麼會這樣，但這很吸引人。雖然可以證明 2^ℵ₀ = c，t假設 c = ℵ1 實際上只是一個假設，而不是數學中一個已證明且顯而易見的事實。這個假設被稱為“連續統假設”，並且恰好是純粹數學中最大的未解決問題之一。這個問題實際上是 1900 年大衛·希爾伯特在法國舉行的國際數學家大會上提出的新世紀 23 個著名問題中的第一個問題（名單上的其他問題包括臭名昭著的黎曼假設和對算術公理一致性的美好信念，後來被庫爾特·哥德爾推翻）。傑出的英國數學家 G·H·哈代將連續統假設列為他去世前要做的首要事項（但他沒有成功）。該假設的一個推論是，在 ℵ₀ 和 c 之間沒有基數的集合。不幸的是，連續統假設可能永遠超出我們的能力範圍。哥德爾和普林斯頓數學家保羅·科恩透過證明，假設集合論基本基礎的一致性，連續統假設是不可判定的，因此既不能證明也不能證偽，從而否定了這個假設。這是假設集合論的基本基礎中沒有矛盾，這本身就是“普遍相信”但未經證實的事情。當然，所有這些都是數學家在最抽象的思想領域漫遊的食糧，無疑會讓他們忙碌多年。

但這一切都始於霍屯督人、康托爾以及最原始的計數和比較方法。昨天我偶然發現了伽莫夫的小寶石，所有這些都一下子回到了我的腦海中。無窮大的比較很容易理解，是向孩子們介紹數學奇蹟的絕佳工具。它突出了數學宇宙的本質怪異性，並提出了深刻的問題，不僅關於這個宇宙的本質，而且關於能夠理解它的人類心靈的本質。最大的問題之一是關於現實本身的本質。物理學也揭示了關於宇宙的反直覺真理，例如時空彎曲、波粒二象性和幽靈般的糾纏現象，但這些真理無疑具有真實的存在，正如透過詳盡的實驗觀察到的那樣。但是數學揭示的奇異真理實際上意味著什麼呢？與物理學的真理不同，它們不能被觸控和看到。其中一些，例如兩種無窮大之間感知的差異，僅僅是人類感知的功能嗎？還是這些真理指向“那裡”的客觀現實？如果它們僅僅是人類感知的功能，那麼大腦結構中到底是什麼使如此奇妙的創造成為可能呢？在二十一世紀，當神經科學有望揭示比以往任何時候都更多的大腦時，對數學理解的研究可能會被證明具有深刻的意義。

布萊克寫下以下詩句時，可能沒有想到連續統假設

一沙一世界，

一花一天堂，

掌中握無限，

剎那即永恆。

但數學會驗證他的想法。正是透過數學，我們才能將不止一個，而是無窮無盡的無窮大握在手中，直到永恆。