本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
電話在聲音上撒謊是因為奇數不是偶數。整數和聲音感知再次出現問題！整數和聲音感知！
電話只能接收到頻率高於 300 或 400 赫茲的聲音（每秒週期，也稱為 Hz），但大多數成年人說話的聲音都低於 300 Hz（大約是中央 C 上方的 D 音）。然而，每天人們都能進行電話交談。（不相信我？試試看！）感謝缺失的基頻。這是一個你（或你的電話）可以用正弦波和比率在你的大腦中玩的把戲，在觀看了 Vi Hart 的影片《噪音是怎麼回事？》後，我受到啟發，將其納入了我與女童子軍關於數學和音樂的聊天中。
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Hart 在影片的 11:13 左右開始演示這種效果，但你真的應該觀看完整影片。
純正弦波會產生可識別的音調，但人聲和其他樂器不會產生純正弦波。除了由例如中提琴上的弦長和粗細決定的基頻外，樂器和人聲還會產生諧波，其頻率是基頻的整數倍。因此，當一把中提琴演奏 C 音時，聲音可以被認為是 C 音基頻的正弦波和頻率為高八度的 C 音（2:1 比率）、高五度的 G 音（3:1 比率）、高四度的 C 音（4:1 比率）等的正弦波的疊加。
這與缺失的基頻有什麼關係呢？讓我們從相隔八度的兩個音符開始，因此它們的頻率比為 2:1。較高音符的諧波也是較低音符的諧波，但並非所有較低音符的諧波都是較高音符的諧波。如果我們從 100 和 200 Hz 開始，那麼 400、600 和 800 Hz，即 100 的偶數倍，是兩個音高的諧波，但 300、500 和 700 Hz，即 100 的奇數倍，僅是較低音高的諧波。
假設你調製出一些頻率為 200、400、600、700 和 800 Hz 的正弦波。當你聆聽這種混合音時，你的大腦會識別出這組頻率與 200 Hz 的諧波系列不匹配，因為這是存在的最低頻率，因為有那個闖入的 700。但是所有頻率都在 100 Hz 的諧波系列中。因此，你將感知到 100 Hz 的音高，即使它低於任何實際播放的頻率。
這就是電話欺騙我們的方式。這是一件好事——這就是為什麼我們在電話裡的聲音聽起來不會比在現實生活中高很多的原因。當我們說話時，我們會產生基頻和一堆泛音。電話無法接收到基頻，但它可以接收到一些泛音，而線路另一端的人的耳朵和大腦會補充基頻。效率真高！
嚴格來說，這不僅僅是一個偶數/奇數問題。這與播放頻率的最大公約數有關。如果我播放 300、500 和 700 Hz 的正弦波，你可能會聽到 100 Hz，因為這是具有 300、500 和 700 的泛音系列的最高音高。用數學語言來說，100 是 300、500 和 700 的最大公約數。因此，整數的因式分解性質，雖然在鋼琴調音方面不太方便，但對電信很有幫助。（順便說一下，它對鋼琴調音的不同方面很有幫助；鋼琴上的最低音符聽起來之所以如此低，是因為缺失的基頻效應。）
Peter Schneider 等人用來將人們分為“基頻聽眾”和“頻譜聽眾”的實驗的插圖。實際播放的最低頻率從第一個音高到第二個音高升高，但基頻下降。圖片來自 Peter Schneider 等人，2005 年。點選圖片連結到文章。
當我拜訪女童子軍時，我為她們播放了各種頻率的混合音，當新增更高的音符導致感知的音高下降八度時，我們所有人都感到震驚，如果您從頻率 200、400 和 600 開始，然後加入 700 或 100 的另一個奇數倍，就會發生這種情況。即使你知道它要來了，你也無法強迫自己聽到更高的音符而不是缺失的基頻，或者至少我不能。
當有很多泛音來加強它時，幾乎每個人都會聽到缺失的基頻，但 2005 年《自然神經科學》雜誌（付費牆）上的一篇論文探討了缺失的基頻效應的侷限性。研究人員 Peter Schneider 等人發現，根據音樂家和非音樂家是否在僅存在少量高諧波時感知到基頻，可以將他們分為“基頻聽眾”和“頻譜聽眾”。測試物件會背靠背聽到兩個音調。基頻會從一個音符降到下一個音符，而最低頻率會升高，反之亦然。我在一個mp3上找到了關於這種效果的一些例子，來自一個泛音演唱留言板，該留言板還有一個“答案鍵”，因此你可以找出你是否是基頻聽眾。
如果您想親自體驗缺失的基頻效應，請檢視Audacity，這是一個免費的音訊編輯程式，併為自己製作一些正弦波。