本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
公開認錯是“單位根”系列中的一個新系列，希望只是偶爾出現。我不喜歡公開認錯，但有時我在文章中會犯錯，而有時錯誤也很有趣。
在上週五關於四色定理的文章中，我談到了一些定理的假設，包括為了應用該定理，國家或州需要相互連線。換句話說，如果我要求密歇根州的上下半島和“手套”都塗成綠色，我們不能保證能夠用四種顏色為地圖著色。我還說過，“稍微難以理解的是，一個國家不應該有洞，或者完全包圍另一個或多個國家。” 這不是真的。我的一位讀者透過電子郵件友善地指出了我的錯誤，並詳細解釋瞭如何看出有洞的國家不會危及四色著色性。
很明顯，一個國家位於另一個國家境內——例如南非境內的賴索托——不會對四色著色構成障礙。賴索托可以用除南非使用的顏色之外的任何顏色著色，而賴索托使用的顏色不會影響可用於奈米比亞或波札那的顏色。
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當我說一個國家不應該有洞時，我並沒有想到像南非/賴索托這樣簡單的情況。我想到的是涉及多孔國家的更復雜的情況。我的理由是，我們可以取地圖上需要四種顏色的區域，然後用一個與該區域所有國家接壤的國家包圍它。周圍的國家不能用我們已經使用過的四種顏色中的任何一種著色，所以我們必須新增一種額外的顏色。聽起來很合乎邏輯，不是嗎？唯一的問題是這是錯誤的。（我想補充一點，我確實嘗試用一個小圖來“實驗性地驗證”這種情況，並且我以為我成功了。我已經沒有那張圖了，但它肯定有問題。為自己辯解一下，我當時是在和朋友一起塗色，而不是寫數學論文。）
四色定理並不完全是我們通常認為的關於地圖和地球儀的定理。我們可以剝離一些細節——國家的尺寸和形狀、河流和山脈的位置等等——只要我們保留所有關於哪些國家彼此接壤的資訊。
透過使用圖，我們可以將包含大量不必要資訊的複雜地圖簡化為更容易理解和處理的東西。圖的頂點是國家，邊代表國家之間的邊界。
來自地圖的圖總是具有一個特殊的屬性：它可以被繪製成沒有任何邊相交。具有此屬性的圖稱為平面圖。我們現在可以用圖論的語言陳述四色定理。每個平面圖都可以用四種顏色對其頂點進行著色，使得沒有邊連線兩個相同顏色的頂點。
指出我錯誤的讀者 Kai Frederking 告訴我一個我不知道的圖論事實。它是關於構成圖“外部”的頂點，換句話說，就是沒有被邊完全包圍的頂點。在地球的情況下，外部頂點是與海洋接壤的國家。顧名思義，外平面圖是一個平面圖，其中所有頂點都是外部頂點。我不知道的事實是，外平面圖是 3 可著色的。
這個事實解決了一切！如果我們有一個有洞的國家，我們只需要擔心包含在該國家內部的那部分地圖。與周圍國家接壤的內部國家只需要 3 種顏色，因為它們形成一個外平面圖，所以我們有第四種顏色可用於為周圍國家著色。我們仍然需要稍微擔心周圍國家內部的其餘國家，完整的論證超出了這篇博文的範圍，但是緊靠周圍國家內部的國家的 3 可著色性是論證的關鍵。
Frederking 先生還分享了一個更直觀的解釋，說明為什麼允許有多孔國家。他講得很好，所以我將直接引用他的話。“直觀的方法是假設一張地圖，其中一個區域包圍了一組國家，例如海洋，這違反了四色著色性，”他寫道。
“現在想象一下在包圍國家中切出一個走廊，使其不再包圍中間的國家，但仍然與所有國家接壤。”
“如果之前違反了四色著色性，那麼現在仍然會違反，因為沒有刪除任何接觸邊界（我們只是在一個地方切開了一個圓圈）。因此，我們將能夠構建一個沒有封閉區域的非四色著色地圖，這與四色定理相矛盾。” 換句話說，我們可以使大的、周圍的國家沒有洞，而不會改變代表該區域的圖。
這實際上非常酷。這意味著海洋可以參與地圖的四色著色。我們可以用一種顏色（我建議藍色？）為海洋著色，而地圖的其餘部分仍然可以在其周圍進行四色著色。一個缺點是我們不能指定藍色意味著水。會有一些內陸國家被塗成藍色，也許是巴拉圭或蒙古，但這是我們為最大效率的製圖付出的代價。
作為獎勵，我們還了解到沿海國家構成了地球的 3 色子地圖。我們知道整個地圖，包括海洋，都是 4 色可著色的，所以我們也知道我們可以用剩餘的 3 種顏色為所有與海洋接壤的區域著色。在 Sporcle 認可的 169 個國家中，只有 45 個是內陸國家，維基百科雖然由於包含一些有爭議的地區，對“國家”的定義與 Sporcle 略有不同，但表示內陸國家僅佔地球陸地面積的 11.4%。因此，地球的大部分可以用 3 色地圖表示。我認為這很酷。
我在本文中使用的地圖到圖形插圖的來源是這個 pdf。如果您有興趣探索圖論的一些與地圖著色性相關的思想，我認為這是一個很好的介紹，不需要太多的先驗數學知識。到筆記結尾，您將證明 6 色定理，它比 4 色定理弱，但更容易理解。
今天的“公開認錯”版到此結束。我希望下一次是很久之後！