本文發表在《大眾科學》的前部落格網路上，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
我的一位工程師朋友最近驚訝地告訴我，他不確定數字 1 是否是質數。我感到驚訝，因為在數學家中，1 被普遍認為是非質數。
困惑始於人們可能給出的“質數”的定義：質數是一個只能被 1 和自身整除的正整數。數字 1 可以被 1 整除，也可以被自身整除。但是自身和1不是兩個不同的因子。1 是質數嗎？當我在文章中寫下質數的定義時，我試圖透過說質數恰好有兩個不同的因子，1 和它本身，或者說質數是大於 1 的正整數，只能被 1 和它本身整除來消除這種歧義。但是，為什麼要費盡周折地排除 1 呢？
我的數學訓練告訴我，不將 1 視為質數的充分理由是算術基本定理，該定理指出，每個數字都可以用質數的乘積以一種方式精確地寫出。如果 1 是質數，我們將失去這種唯一性。我們可以將 2 寫成 1×2，或 1×1×2，或 1594827×2。從質數中排除 1 可以使之變得平滑。
關於支援科學新聞報道
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保關於當今塑造我們世界的發現和想法的具有影響力的故事的未來。
我原本計劃這篇文章的走向是，我會解釋算術基本定理，然後就結束了。但是，修改算術基本定理的陳述來解決 1 的問題真的不是那麼困難，而且，畢竟，我朋友的問題激起了我的好奇心：數學家是如何在質數的定義上達成一致的？粗略瀏覽一些與數論相關的維基百科頁面，發現有人斷言 1 曾經被認為是質數，但現在不是了。但是克里斯·考德威爾 (Chris Caldwell) 和顏雄 (Yeng Xiong) 的一篇論文表明，這個概念的歷史要複雜得多。我讚賞他們文章開頭的這種觀點：“首先，一個數（尤其是單位）是否是質數是一個定義問題，因此是一個選擇、語境和傳統的問題，而不是一個證明問題。然而，定義不是隨意做出的；這些選擇受我們數學的使用所約束，尤其是在這種情況下，受我們的符號所約束。”
考德威爾和熊從古典希臘數學家開始。他們不認為 1 與 2、3、4 等數字一樣是數字。1 被認為是一個單位，一個數字由多個單位組成。因此，1 不可能是質數——它甚至不是一個數字。九世紀的阿拉伯數學家阿爾·金迪 (al-Kindī)寫道，它不是一個數字，因此甚至不是偶數或奇數。1 是所有數字的構建塊，但本身不是數字的觀點持續了幾個世紀。
1585 年，佛蘭德數學家西蒙·斯蒂文 (Simon Stevin) 指出，當以 10 為基數進行算術運算時，數字 1 與任何其他數字之間沒有區別。出於所有目的，1 的行為與任何其他量級一樣。儘管這並非立即發生，但這一觀察最終導致數學家將 1 視為一個數字，就像任何其他數字一樣。
直到 19 世紀末，一些令人印象深刻的數學家認為 1 是質數，而另一些則不認為。據我所知，這並不是一個引起衝突的問題；對於最流行的數學問題，這種區別並不是非常重要。考德威爾和熊引用 G. H. 哈代 (G. H. Hardy) 作為最後一個將 1 視為質數的主要數學家。（他在 1908 年至 1933 年間出版的《純粹數學課程》的前六版中明確將其列為質數。他在 1938 年更新了定義，使 2 成為最小的質數。）
這篇文章提到了但沒有深入探討數學中的一些變化，這些變化有助於鞏固質數的定義並排除 1。具體來說，一個重要的變化是開發了超出整數範圍的、行為有點像整數的數字集。
在最基本的例子中，我們可以問數字 -2 是否是質數。這個問題似乎毫無意義，但它可以促使我們用文字表達 1 在正整數中的獨特作用。1 在正整數中最不尋常的方面是它有一個也是整數的乘法逆元。（數字x的乘法逆元是一個與x相乘得到 1 的數字。數字 2 在有理數或實數集中有一個乘法逆元 1/2：1/2×2=1，但是 1/2 不是整數。）數字 1 恰好是它自己的乘法逆元。沒有其他正整數在整數集中具有乘法逆元。*具有乘法逆元的性質被稱為單位。數字 -1 也是整數集中的一個單位：同樣，它是它自己的乘法逆元。我們不認為單位是質數或合數，因為你可以將它們乘以某些其他單位而不會改變太多。然後，我們可以認為數字 -2 與 2 並沒有太大的不同；從乘法的角度來看，-2 只是 2 乘以一個單位。如果 2 是質數，-2 也應該是質數。
我在上一段中刻意避免定義質數，因為在這些更大的數字集中，質數的定義存在一個不幸的事實：它是錯誤的！嗯，它不是錯誤的，但它有點違反直覺，如果我是數論女王，我就不會選擇讓這個術語具有現在的定義。在正整數中，每個質數 p 都有兩個屬性
數字 p 不能寫成兩個正整數的乘積，其中任何一個都不是單位。
每當乘積 m×n 可以被 p 整除時，則 m 或 n 必須可以被 p 整除。（要檢查此屬性在示例中的含義，請想象 m=10、n=6 和 p=3。）
這些屬性中的第一個是我們可能認為用來表徵質數的方法，但不幸的是，該屬性的術語是不可約。第二個屬性稱為質數。當然，在正整數的情況下，相同的數字滿足這兩個屬性。但這對於每個有趣的數字集都不成立。
舉個例子，讓我們看一下形式為 a+b√-5 或 a+ib√5 的數字集合，其中 a 和 b 都是整數，而 i 是 -1 的平方根。如果你將數字 1+√-5 和 1-√-5 相乘，你會得到 6。當然，如果你將 2 和 3 相乘，你也會得到 6，這兩個數也在這個數字集中，b=0。數字 2、3、1+√-5 和 1-√-5 中的每一個都不能進一步分解，並寫成非單位的數字的乘積。（如果你不相信我，也不難說服你自己。）但是乘積 (1+√-5)(1-√-5) 可以被 2 整除，而 2 不能整除 1+√-5 或 1-√-5。（再一次，如果你不相信我，你可以自己證明它。）因此 2 是不可約的，但它不是質數。在這個數字集合中，6 可以以兩種不同的方式分解為不可約數。
上面的數字集，數學家可能將其稱為 Z[√-5]（發音為“zee adjoin negative five 的平方根”或“zed adjoin negative five 的平方根，pip pip，cheerio”，具體取決於你喜歡如何稱呼字母表的最後一個字母），有兩個單位，1 和 -1。但是存在類似的具有無限個單位的數字集。隨著這樣的集合成為研究的物件，單位、不可約和質數的定義需要仔細界定是有道理的。特別是，如果存在具有無限個單位的數字集，則除非我們澄清單位不能是質數，否則很難弄清楚我們所說的數字的唯一分解是什麼意思。雖然我不是數學歷史學家或數論家，並且很想閱讀更多關於這個過程是如何發生的資料，然後再做進一步的推測，但我認為這是考德威爾和熊暗示的促使 1 被排除在質數之外的一個發展。
正如經常發生的那樣，我對事情為何如此的最初簡潔的回答最終只是故事的一部分。感謝我的朋友提出這個問題並幫助我更多地瞭解了質數的混亂歷史。
*這句話在發表後進行了編輯，以澄清沒有其他正整數具有也是整數的乘法逆元。