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在我們最新一期的“我最喜歡的定理”中，我的聯合主持人凱文·克努森和我與貝茨學院的數學家阿德里亞娜·薩勒諾討論了最漂亮的定理之一：康托爾證明實數比整數多。您可以在這裡或kpknudson.com收聽，那裡還有一份文字稿。
薩勒諾談到了她與這個定理的有些痛苦的個人聯絡。在大學裡，她的一位教授告訴她，她不應該再學數學專業了，因為她在寫這個定理的證明時犯了一個“錯誤”。
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要理解實數比整數多的含義，我們需要知道如何衡量無限集合的大小。我們透過定義兩個集合具有相同的大小來實現這一點，前提是它們可以完美配對。第一個集合的每個元素在第二個集合中都有一個對應的夥伴，反之亦然。
如果實數集與整數集的大小相同，我們就可以像列出整數一樣列出實數。列表中會有一個排在第一位的實數，一個排在第二位的實數，依此類推。康托爾的對角線論證表明，無論你如何形成實數列表，它都是不完整的。一些實數——事實上，是無限多的實數——不會出現在列表中。
為了證明這個結果，你從一個提議的實數列表開始。然後，透過改變第一個數的第一個數字、第二個數的第二個數字等等，生成一個不在列表中的數字。當薩勒諾在考試中寫下她的證明時，她是這樣寫的：
設列表中的第一個數的數字為A1、A2、A3等等。設第二個數的數字為B1、B2、B3等等。第三個數是C1、C2、C3，…… 你明白我的意思了。
她繼續改變數字A1、B2、C3等等，抓住了康托爾證明的主要概念。教授沒有給她任何學分。他的理由是：字母表只有26個字母，所以她只證明了一個包含26個數字的列表是不完整的。
原諒我的措辭，但這簡直是胡說八道。可能有更好的方法來寫這個證明，但她掌握了基本思想。坦率地說，我覺得很可笑的是，教授會認為，如果我們真的要執行這個過程，我們可以寫出無限多的數字的任意多個數字，但卻無法想象我們可以找出方法，一旦我們用完了字母表中的字母，就可以繼續跟蹤數字。有一本完整的蘇斯博士的書講的就是這個！如果反正我們不是在追求實用，為什麼假設我們不能擴大字母表？這有點像看一集《星際迷航》，對曲速引擎或全息甲板沒有任何問題，但卻覺得克拉舍醫生的近乎瞬時的傷口癒合技術不可信。
薩勒諾說，她太固執了，沒有聽從教授關於退出數學的建議，顯然她最終還是成功了，但她必須如此固執真是令人沮喪。我很高興我的大多數數學教授都鼓勵我，即使我的證明有點笨拙或難以處理，並且認識到，小的簿記問題並不意味著我沒有理解這些概念。