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在我們播客“我最喜歡的定理”的最近一集中，我的聯合主持人凱文·克努森和我很高興 Ruthi Hortsch 加入我們。您可以在此處或 kpknudson.com 收聽該集，那裡還有一份文字記錄。
Hortsch 是一位數學家，也是 Bridge to Enter Advanced Mathematics (BEAM) 的高階專案經理，BEAM 是一項幫助來自服務欠缺社群的學生為未來在數學領域學習和工作做好準備的專案。就個人而言，BEAM 是我支援的與數學相關的慈善機構之一。他們目前在紐約市和洛杉磯都有專案，並且正在努力擴充套件到美國更多城市。他們的大部分學生是非洲裔，在這個全國各地的人們都在思考如何對抗種族主義和不平等的時期，透過 BEAM 等專案支援非洲裔學生只是眾多挺身而出方式之一。
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Hortsch 向我們介紹了 法爾廷斯定理 （也稱為莫德爾猜想），這與我們之前一集“我最喜歡的定理”非常吻合，當時我們與 Matilde Lalín 討論了同餘數問題和莫德爾定理。路易斯·莫德爾在 1922 年的同一篇論文中提出了這個猜想，他在論文中證明了 莫德爾定理，而格爾德·法爾廷斯在 1983 年證明了這個猜想。
莫德爾定理和莫德爾猜想都與出現在某些多項式定義的形狀（稱為代數曲線）上的有理點有關。代數曲線是兩個變數多項式的零集，類似於 x2+y2=1 的點的集合，您可能會將其識別為平面中圓的方程。為了使事情稍微複雜化，在數學的這個分支中，變數可以取複數值，而不僅僅是實數值，因此，我們實際上需要進入四維空間才能完全視覺化形狀，而不是平面中的圓。
但即使它被簡化了，圓的例子也可以幫助我們理解基本問題，即曲線上有多少個有理點。有理點是具有所有有理座標的點，例如平面中的點 (1, 1/2) 或三維空間中的 (−3, 2, 1/5)。對於方程 x2+y2=1，有很多具有有理座標的點滿足方程：（1, 0）、（3/5, −4/5）和（5/13, 12/13）是三個例子。但有些曲線只有少數有理點。
代數曲線可以透過稱為虧格的東西來分類，您可以將其視為物件中有多少個孔（甜甜圈有一個孔，大多數椒鹽捲餅有三個孔）。莫德爾定理描述了來自虧格為 1 的曲線的曲線上有理點的代數結構，而法爾廷斯定理指出，對於更高虧格的曲線，只有有限個有理點。
在播客的每一集中，我們都會請嘉賓將他們的定理與食物、飲料或其他生活樂趣配對。您必須收聽該集才能聽到 Hortsch 為什麼認為紐約市的百吉餅是法爾廷斯定理的完美搭配。要了解有關 Hortsch 和 BEAM 的更多資訊，請在 Twitter 上關注 Hortsch 並檢視 BEAM 網站。