本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
二月份，我寫了關於歐幾里得的平行公設，它是構成歐幾里得幾何基礎的龐大而幸福的定義、公設和公理家族中的害群之馬。我收錄了托馬斯·希思翻譯的《幾何原本》中五個公設的文字
“讓我們假設以下內容1）從任意一點到任意一點作直線。
2）將有限直線沿直線連續延伸。
3）以任意中心和距離作圓。
4）所有直角都彼此相等。
5）如果一條直線與兩條直線相交，使同側內角之和小於兩直角，則這兩條直線無限延伸後，會在內角和小於兩直角的那一側相交。”
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前三個公設給人的感覺很相似：我們定義了一些在構造圖形以用於證明時可以做的事情。這些公設說，如果我們想，我們可以用直線連線兩點，畫出無限延伸的直線，並在我們想要的任何地方和任何大小畫圓。這很合理。
但是，我們為什麼需要一個公設來說明所有直角都彼此相等呢？您可能還記得在初中或高中幾何課上學到，直角是 90 度角，如果兩個角具有相同的度數，則它們是全等的。我們不需要一整個公設來說明這一點。這只是我們定義角度的方式的一部分。為什麼不設定一個公設來說明所有 45 度角都彼此相等呢？或者所有 12 度角？第四公設似乎有點奇怪。但是歐幾里得知道他在做什麼，所以這個公設一定有原因。
為了理解這對歐幾里得意味著什麼，我們需要回顧一下歐幾里得對角度的處理。在本書的開頭，他收錄了一些與角度相關的定義。定義 8 指出，“平面角是平面上兩條相交但不成一直線的線的相互傾斜度。” 定義 10 說，“當一條直線在另一條直線上形成鄰角彼此相等時，每個相等的角都是直角，並且垂直於另一條直線的直線被稱為與另一條直線垂直。” 定義 11 和 12 分別用於鈍角和銳角，它們被定義為大於或小於直角。直觀地，我們都可以想象角度的更大和更小意味著什麼：如果角 A 比角 B “更開放”，則角 A 大於角 B。如果角 A 比角 B “更封閉”，則角 A 小於角 B。當我們看到它時我們就知道。
但是歐幾里得從未告訴我們究竟如何比較兩個角。他從未討論過度、弧度，或如何使用量角器測量角度。當代的希臘天文學家和數學家使用度，歐幾里得可能也知道它們，但他沒有在《幾何原本》中使用它們。在沒有測量角度的方法的情況下，歐幾里得所說的角度相等可能意味著什麼？
公理可能會提供一些啟示。再次，來自希思的翻譯
“1. 與同一事物相等的事物彼此也相等。2. 如果相等量加到相等量上，則和相等。
3. 如果從相等量中減去相等量，則餘數相等。
4. 彼此重合的事物彼此相等。
5. 整體大於部分。”
表面上看，公理 4 似乎是在說一個事物等於它自身，但看起來歐幾里得也用它來證明一種稱為疊加的技術的合理性，以證明事物是全等的。基本上，疊加是指如果兩個物體（角、線段、多邊形等）可以對齊，使其所有對應的部分完全重疊，則這些物體是全等的。
例如，在《幾何原本》第 1 卷命題 4 中，歐幾里得使用疊加來證明邊和角是全等的。命題 4 是邊-角-邊定理，它是一種證明兩個三角形全等的方法。在奧利弗·伯恩的翻譯中，我認為在這一點上它比希思的翻譯更富有詩意，證明開始說，“設想兩個三角形被放置成這樣，一個等角的頂點落在另一個等角的頂點上……” 換句話說，歐幾里得似乎描述了物理地將一個三角形放在另一個三角形的頂部。當他這樣做時，他表明它們的所有部分都對齊，並得出結論，它們是全等的。
現在，歐幾里得想要一個公設來說明直角是全等的，這變得更有道理了。我們需要知道在一張紙上建立一對直角與在另一張紙上建立它們是相同的。我們需要能夠將這些紙片疊放在一起，並使角完全對齊。實際上，第四公設將直角確立為所有角度的測量單位。儘管歐幾里得從未使用過度或弧度，但他有時將角度描述為等於若干個直角的大小。從這個角度來看，歐幾里得的第四公設似乎並沒有那麼奇怪。
但是，如果您對第四公設感到有些反感，那麼您並不孤單。普羅克拉斯，一位公元 5 世紀的希臘數學家，他撰寫了對《幾何原本》的具有影響力的評論，他認為第四公設應該是一個定理，並在他的評論中提供了對它的“證明”。但他的證明依賴於假設角度在我們空間中的任何位置“看起來”都相同，希思在他的 1908 年評論中將這種性質稱為空間的同質性。基本上，希思指出普羅克拉斯的證明用另一個未說明的公設取代了第四公設。
希思寫道：
“雖然這個公設斷言了直角是一個確定的量這一基本真理，因此它確實充當一個不變的標準，透過這個標準可以測量其他（銳角和鈍角）角度，但其中隱含的意義遠不止於此，從以下考慮中可以很容易地看出。如果要證明該陳述，則只能透過將一對直角應用於另一對直角並論證它們的相等性的方法來證明。但是，除非假設圖形的不變性，否則這種方法是無效的，因此必須將圖形的不變性作為先前的公設來斷言。歐幾里得寧願直接斷言所有直角都相等這一事實作為公設；因此，他的公設必須被視為等同於圖形不變性原則或其等價物，即空間的同質性。”
即使我們確實想在沒有證明的情況下接受該公設，普羅克拉斯也寧願我們稱其為公理，而不是公設。他認為公設應該是關於構造的——我們做的事情——而公理應該是我們觀察到的不言自明的概念。（公理有時被稱為“共同概念”。）但是希思看到了第四公設應該放在現在位置的充分理由。
“至於公設 4 的存在理由和位置，有一件事是非常確定的。從歐幾里得的觀點來看，它必須在公設 5 之前出現，因為如果首先不明確說明直角是確定且不變的量，那麼後者中關於某一對角的和小於兩個直角的條件將是無用的。”
作為旁註，我發現希思對公理（他稱之為共同概念）和公設之間差異的解釋很有趣
“關於公設，我們可以想象[歐幾里得]會說：‘除了共同概念之外，還有一些其他的事情我必須在沒有證明的情況下假設，但它們與共同概念的不同之處在於它們不是不言自明的。學習者可能願意或不願意同意它們；但他必須在開始時接受它們，基於他老師的權威，並且必須讓他自己在接下來的調查過程中相信它們的真實性。’”
1899 年，德國數學家大衛·希爾伯特出版了一本書，旨在將歐幾里得幾何置於更堅實的公理基礎上，因為自歐幾里得時代以來的兩千年裡，數學證明的標準和風格已經發生了很大的變化。希爾伯特使用了一組不同的定義和公理，在他的公式中，直角的相等是一個定理，而不是一個假設。但是，使用歐幾里得最初的公設和公理集，第四公設是必要的。實際上，它將直角確立為角度的通用標尺。它不是我們現在習慣的，但它的效果與度或弧度一樣好。
要進一步探索歐幾里得的《幾何原本》，請檢視大衛·E·喬伊斯的頁面。您可以在 Google 圖書上閱讀普羅克拉斯和希思的評論，如果您對公理幾何學仍然不滿足，希爾伯特的《幾何基礎》（pdf）可在古騰堡計劃中找到。我要感謝瓦巴什學院的科林·麥金尼在本文的一些細節方面提供的幫助。所有錯誤均由我承擔。