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“我們將不停地探索”
“而所有探索的終點”
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“將是回到我們出發的地方”
“並第一次認識那個地方。”
——摘自T.S.艾略特的《小吉丁》
如果你在高中或大學學過微積分，你可能還記得鏈式法則。微積分的主要主題之一是學習如何用更簡單的函式來近似函式。鏈式法則告訴你如何對依賴於其他函式的函式執行此操作。它幫助你跟蹤一個變數的微小變化如何改變一個函式的值，而這反過來又改變另一個函式的值，依此類推，形成一個長長的函式鏈。這是一個重要的方法，但也是微積分課程中更具挑戰性的主題之一。當你要跟蹤影響多個輸出的多個變數時，它會更具挑戰性，就像我們在我的多元微積分課上所做的那樣。
當我開始準備在我的課上教授鏈式法則時，我不喜歡書本上的講解方式。我覺得證明過於複雜，而且似乎故意避開了一種更簡單的方法。我不明白為什麼作者用他那樣的方式來證明。我開始寫一些我認為會更清晰的不同筆記。經過幾個小時的工作，我意識到讓我的方法更容易的原因是我假設了一個簡單的鏈式法則的例子。當你首先假設定理是正確的時候，定理就更容易證明！
我開始糾正我的錯誤，並發現我也使用了稍微更嚴格的假設，所以我的證明適用於某些函式，但不適用於所有函式。這本書的作者選擇的方法適用於我的方法無法處理的函式。我終於明白他一開始為什麼要那樣做了！
對自己感到沮喪時，《小吉丁》中的這句話突然出現在我的腦海中：“所有探索的終點將是回到我們出發的地方，並第一次認識那個地方。” T.S.艾略特不是在寫數學，但這種情感似乎非常適合我的情況，也適合我通常對數學的感受。只有經過廣泛的探索，我才能完全理解早期定理或方法的美麗或實用性！
去年春天，當我與數學家勞拉·德馬科和艾米·威爾金森交談時，她們都提到現在她們比第一次學習微積分時更欣賞它。微積分遠非數學中的一個基本主題，但它是一個很早就學習的主題，在我們對它的複雜性瞭解多少之前就已經學習了。我們進行了大量的探索，然後才回來並第一次真正理解微積分。當然，有這種感覺的不僅僅是數學家。我只是一個業餘音樂家，但我演奏和聽的音樂越多，我就越覺得我第一次理解了巴赫。我確信同樣的事情也發生在其他學科中。
我最終沒有在我的課堂上使用這本書對鏈式法則的講解方式。但現在我明白了作者為什麼要這樣做。我決定使用的方法也比我剛開始研究它時想象的要複雜得多。這是我們在本課程中進行的更復雜的證明之一，我知道我的一些學生感到沮喪。我希望他們把我們的課程看作是一次探索。隨著我們不斷探索，超越鏈式法則，瞭解它的一些結果和應用，我希望他們能夠回來並感覺他們第一次瞭解了鏈式法則。