本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點。
去年夏天，來自smbc comics的扎克·溫納史密斯讓我大開眼界。
圖片來源：扎克·溫納史密斯，smbc comics。 點選此處檢視原文。
我的反應基本上與右下角的面板一致
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調和級數會增長到無窮大，除非您剔除分母中帶有數字 9 的項。
“有時這什...什麼？什麼？但是怎麼會...搞什麼鬼？！”
調和級數是無窮和 1+1/2+1/3+1/4+…，即每個正整數的倒數之和。即使這些項越來越接近 0，該級數也會趨於無窮大，這意味著它最終會變得比您能想到的任何數字都大。（這個問題很有趣，值得思考，所以我不會劇透，但維基百科有解釋。）
令人費解的是，如果我們去掉 1/9、1/19、1/29 等等，級數反而會收斂。事實上，它小於 90，與調和級數的無窮大相比，這簡直微不足道。
理解這個謎團的一個要素是一個令人困惑的事實：“大多數” 大數都包含數字 9，因此最終你會從調和級數中剔除大量數字。這個事實對我來說似乎非常奇怪，因為我對數字的直覺，主要是基於我們最常遇到的一位數和兩位數，讓我感到困惑。基於這些小數，感覺好像只有略高於 10% 的數字包含數字 9。但這是非常不正確的：隨著位數的增加，幾乎可以肯定，隨機選擇的數字將包含數字 9。
不難理解為什麼大多數大數都包含數字 9。 就像許多機率謎題一樣，最著名的是生日悖論，您可以從相反的方向來解決這個問題。 在這種情況下，我不直接計算有多少特定大小的數字以及有多少數字包含 9，而是計算給定大數不包含數字 9 的機率。
除了第一位數字不能為 0 之外，多位數中的任何一位數字都有 9/10 的機率不是 9。（第一位數字不是 9 的機率為 8/9。）因此，對於一個 2 位數，它不包含數字 9 的機率為 8/9×9/10，即 80%。另一方面，對於一個 10 位數，它不包含任何 9 的機率為 8/9×(9/10)9。這個機率要小得多，只有約 34%。當我們達到 100 位數時，隨機選擇的數字不含 9 的機率小於 0.01%。
我可以寫下那個證明，但我對數字的直覺阻礙了我更深入的理解。這時，素數 tweetbot 出現了。 去年夏天，我寫了我對數論的興趣比以前濃厚了多少，我認為 @_primes_ 功不可沒。 這個機器人每小時都會發佈下一個素數。 我喜歡滾動瀏覽並轉發我發現以某種方式令人愉悅的素數。
除了幫助我欣賞素數的美學價值外，@_primes_ 還幫助我理解了不含 9 的調和級數。 當我上次檢視時，在它釋出的最近 10 個素數中，有 6 個包含數字 9。 如果您選擇任何數字並滾動瀏覽這些數字，您會發現該數字出現的頻率比您的直覺可能讓您相信的要高。 您可能會遇到一個數字在一段時間內沒有出現的情況，但會被它們確實出現的長串數字所平衡。（例如，最近的所有素數都包含數字 2、5 和 6，這種情況還會持續一段時間。）
在注意到每個數字在素數 tweetbot 上出現的頻率之後，大多數大數都包含任何個別數字的想法就自然而然地產生了。 我實際上不確定對此有何感想。 一方面，感覺自己終於理解了曾經讓我困惑的事情，這令人滿意。 另一方面，世界上又少了一件讓我說“搞什麼鬼？！”的事情。