本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
這個部落格之所以名為“單位根”，是因為在2004年，我認為它會是一個很棒的樂隊名稱。
我在大學數學課上遇到了這個術語，我並沒有幻想在不久的將來加入樂隊，但似乎有必要準備一些好的樂隊名稱以備不時之需，以防萬一。你永遠不知道什麼時候會有一個很棒的樂隊在尋找一位已經選好了書呆子樂隊名稱的業餘中提琴手。
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那麼，單位根到底是什麼呢？術語中的“根”指的是平方根、立方根以及您可能需要的任何其他根。對於任何整數n，數字k的n次根是一個數字，當它自身相乘n次時，會得到k。“單位”這個詞，也許有點平淡無奇，只是意味著“一”。因此，單位根是任何數字，當它自身相乘若干次時，會得到1。
在這一點上，這個定義真的似乎有點小題大做：1和-1似乎是唯一符合要求的數字。但是，當我們談論實數時，通常不會出現這個令人回味的短語：我們需要使用複數才能得到任何有趣的單位根。
複數由所有可以寫成a+bi形式的數字組成，其中a和b是實數，i是-1的平方根。數字i在實數軸上不存在，因為任何實數自身相乘都是正數，因此使用字母i，代表“虛數”。虛數並不比數字6、8或27,000更虛幻，但這個標籤一直沿用下來。數字i本身就是一個單位根：i2=-1，所以i4=1，使得i成為4次單位根。i的任何平方根、立方根或其他根也是單位根。
要了解單位根的特殊之處，我們需要稍微深入瞭解一下符號。如果您不喜歡符號，您可能應該跳過接下來的三個段落。
我們可以將複數集視為一個二維平面。我們用兩個座標來指定一個複數，就像我們在圖表上一樣：點 (1,1) 指的是數字 1+i。如果我們站在點 (0,0)，我們可能不想向右走一個單位，然後再向上走一個單位才能到達點 (1,1)。相反，我們將走對角線，以與 x 軸成 45 度的角度走 √2 個單位。在符號上，當我們使用這個徑向距離和方向時，我們將複數寫成 rei θ，其中 r 是距離，θ 是方向，通常以弧度而不是度數表示。一個整圓中有 2π 弧度，所以數字 1 寫成 ei 2π。角度 45 度是 π/4 弧度，所以我們上面找到的點 (1,1) 將被寫成 √2ei π/4。
這種用長度和方向指定點的方法稱為使用極座標，它最漂亮地出現在尤拉恆等式中，eiπ=-1。
極座標使複數相乘變得非常容易。使用 a+bi 符號，您必須 FOIL（還記得中學代數嗎？），最終您需要將總共四個項加在一起。但是使用 reiθ 的極座標表示法，它非常容易：您將距離相乘，並將角度相加。所以 5eiπ/6× 2eiπ/3=10 ei π/2。因此，乘法既涉及擴充套件或收縮（這是距離部分），又涉及旋轉（這是角度部分）。
我認為關於單位根最美妙的事情（除了這個很棒的名稱）是它們是 0 和無窮大之間的某種平衡點。我的意思是，如果我們有一個寫成 rei θ 的數字，當它自身相乘一定次數時，會得到 1，那麼距離 r 本身必須是 1。如果 r 大於 1，比如 2，那麼當我們將數字自身相乘越來越多的次數時，它與 (0,0) 的距離將從 2 變為 4 變為 8，並以此類推，呈螺旋形向外延伸到無窮大。如果 r 小於 1，比如 1/2，則該點將螺旋形向內收縮到 0：1/2、1/4、1/8 等等。1 是唯一能保持完美平衡的徑向距離，當我們把數字相乘在一起時，它只是在圓周上行進。
為了更具體地說明這一點，我碰巧知道 ei2π/7 是一個單位根。當我將其升到 7 次方時，我得到 ei2π，即 1。每次我將 ei2π/7 與自身相乘時，我都會圍繞圓周旋轉 1/7。事實上，當我連續地將 ei2π/7 與自身相乘時，我得到了這張圖片，我的部落格橫幅。
事實上，有七個 7 次單位根，並且圖片中的每個金色圓盤都是其中之一。我們可以透過將 ei 2π/7 中的 7 替換為 n，來獲得任何數字 n 的n次單位根。其他單位根的圖片看起來很像上面的圖，只是它們的金色圓盤數量不同。
我不確定單位根的數學定義是否能與作為樂隊名稱的這個短語的魅力相提並論，但我確實認為這是一個美麗的想法，並且在複分析中非常有用。既然“單位根”這個名字已經用過了，我現在仍在收集很棒的樂隊名稱。目前的兩個領先者是“蝴蝶假設”，它與一位朋友的數學研究領域有關，以及“有預謀的迷迭香盜竊案”，這只是與我陽臺和一些丟失的香草有關的不幸事件。