十二音程懷舊之旅，由 Vi Hart 友情呈現

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，僅反映作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點。

上週 Vi Hart 釋出了一個關於十二音音樂的精彩 30 分鐘影片，這真的讓我回憶起往事！

（如果影片無法載入，請在 YouTube 上觀看。）

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十年前，我還沒有決定要從事數學。 事實上，我非常喜歡我的音樂理論課，並且我曾想過在研究生院學習它。 在 2003 年春季學期，我正在上二十世紀音樂理論課。 作為該課程作業的一部分，我創作了“ftc”，這是微積分基本定理一部分的十二音序列設定。 您可以在此處檢視該作品的 pdf 檔案。 這是一個 2004 年的掃描件，有些地方被截斷了，但我已經沒有原件了。 上面有很多彩色鉛筆標記，顯示了我當時正在使用的音列。

在我創作“ftc”時，我並沒有真正理解微積分基本定理的重要性，但我知道它很重要。 如果我今天再寫這首曲子，我會更仔細地考慮歌詞的設定，而不僅僅是從微積分教科書中複製出來。

我喜歡創作十二音序列作品，因為玩轉音列的不同屬性很有趣，而且它有恰到好處的限制來激發我的創造力。

警告：本文的其餘部分假設您對樂譜和音程有一定的瞭解。

要開始創作十二音序列作品，您只需將半音階中的所有十二個音高按某種順序排列。 我為“ftc”選擇的音列是 F# A E D C# F B G G# A# D# C。

我的音列。 除上面嵌入的 Vi Hart 影片外，此頁面上的所有影像均由 Evelyn Lamb 拍攝。

您必須按此順序演奏音符（一次一個或以和絃形式）才能“算作”演奏音列。 但是在作品中，您也可以對原始音列進行一些修改。 您可以倒著演奏它，這稱為“逆行”，或者做相同的音程但從不同的音高開始。 您也可以演奏相同的音程但方向相反，這稱為“倒影”。 就我而言，倒影音列將以一個下降的小三度或一個上升的大六度開始，而不是一個上升的小三度。 您也可以組合變換，因此逆行倒影也是可以接受的。

如果我自賣自誇的話，我的音列真的很棒，因為它正好包含所有可能的音程各一次。 我們必須稍微注意一下我們所說的“所有可能的音程”的定義。 正如您所看到的，它包含兩次小三度：F# 到 A 和 D# 到 C。（是的，D#-C 看起來像一個增二度，但我們會稱之為小三度，因為我們是叛逆的現代音樂人！）在十二音音樂中，我們真的不在乎我們在哪個八度音階中演奏，我們只關心音符名稱，也稱為音高類別。 中央 C 和高八度的 C 是“相同的”。 因此，我們可以假設所有音程都是上升的（或所有都是下降的），這將是我們對“所有可能的音程”的定義。（還有一種方法可以使用算術模 12 的語言來表達這一點，但我認為那是另一篇文章的主題了。）在我的音列中，我們開頭有一個上升的小三度，結尾有一個上升的大六度。

我的音列，標有上升和下降音程。 TT 下面應該是一個小惡魔頭，因為三全音/減五度/增四度以前被稱為“diabolus in musica”（音樂中的魔鬼）。 現在您知道為什麼我是數學家而不是警方素描藝術家了。

我決定使用 Hart 在她的影片中從 24:45 左右開始使用的時鐘面方法，為我的音列畫一些圖。

音高排列得像時鐘面上的數字。 紅色方塊中的數字表示我的音列中音高的順序。 右下角的汙跡表示我開始意識到我的筆漏墨弄髒了我的手指。

我是一名絃樂演奏者，所以我通常更喜歡升號而不是降號。 Hart 在她的影片中使用了降號。 這無關緊要，因為我們使用的是平均律。 我將音高按順序從 0 到 11 編號，而不是從 1 到 12，因為我在寫“ftc”時就是這樣做的。 我們一定在課堂上使用了這個約定。 使用任一約定都有充分的理由。

我決定連線這些點。 我從音列的前六個音高開始。

音高 0-5 已連線。

然後我擦除了那些並連線了最後六個。

嘿，這看起來很眼熟！

第二張圖片看起來像是第一張圖片旋轉了 180 度，這不是巧合。 我的音列的第一個音程是上升的小三度，最後一個音程是下降的小三度。 第二個音程是上升的純五度，倒數第二個音程是下降的純五度，依此類推。 如果你倒著演奏音列，你會得到你開始的音列，但降低了一個三全音。 這不是很酷嗎？

放在一起，它看起來像這樣。

這不是很漂亮嗎？

我用橙色繪製了中間的三全音，因為它不屬於任何一組六個音高。 它有點像連線構成整個音列的這兩個對稱部分。

如果我想將最後一個音符連線到第一個音符，我會再畫一條橙色的線，因為第一個和最後一個音符也相隔一個三全音。

這樣看起來真漂亮而且對稱。

我決定從頭開始，也用另一種方式視覺化我的音列。 這次我想突出我使用的不同型別的音程。 首先，我在第一個和最後一個音程之間畫線，它們都是小三度。

箭頭顯示音高在時間上的順序。 我用同樣的方式為其餘的音程著色。

每種不同的顏色代表不同的音程大小。 我的顏色選擇有限，因為我剛搬家，很難找到更多的記號筆。

現在我有一堆帶有箭頭的平行線！ 如果我們保持時鐘面靜止並將線條旋轉 180 度，那麼 D 和 C# 之間的藍線最終將變成從 G# 到 G 的藍線，箭頭指向相反的方向。 所有其他顏色的線條也是如此。 再次強調，這不是巧合。 它突出了這樣一個事實：音列的逆行版本與原始音列具有相同的音程，但起始位置相隔一個三全音（或半圈旋轉）。

我希望我可以分享我使用這個音列創作的作品的聲音檔案，但我廉價的 midi 檔案已經消失在歷史的長河中了。 也許等我不再忙於整理公寓併為即將到來的旅行月做準備時，我會嘗試製作另一個錄音。 我保證音列聽起來不錯，儘管整首作品有時有點狂野。 音列的前四個音符建立了一個帶有附加音符的 D 大三和絃，它具有很好的調性聲音。 由於音列的對稱性，最後四個音符也做了同樣的事情，但使用的是 G# 大三和絃。

謝謝你，Vi Hart，提醒我序列主義是多麼有趣！