託尼獎上的拓撲學

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漢密爾頓頒獎典禮 託尼獎，我很高興在《女服務生》的表演中看到了一些數學。

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在影片中大約1:30標記之後，服務員和女服務員用他們的餡餅做了一個可愛的旋轉技巧。我不知道編舞者是否有意為之，但它是對一種叫做“盤子戲法”、“狄拉克帶戲法”、“巴厘島杯子戲法”或幾個其他生動暱稱之一的技巧的說明。為了紀念它在這個節目中的出現，我將稱之為“餡餅戲法”。讓我們再看一遍。

餡餅戲法的核心——或者說是餡料——表明，有時旋轉360°不足以回到起點。你需要720°。這個想法——即做同一件事兩次與什麼都不做相同——不僅出現在數學中，也以電子自旋等形式出現在物理學中。

正如馬克·斯塔利在一篇解釋這個戲法的論文中寫道，它“可能會讓學生懷疑是否真正理解了四元數和旋量，或者這個戲法只是一個有趣的類比。” 昨天花了幾個小時思考（和用手腕嘗試）之後，我認為這個戲法很有幫助，但它獎勵的是長時間的思考，而不是立即揭示其秘密。

我第一次聽說餡餅戲法是用來證明SO(3)的基本群是非平凡的一種方法。讓我們來解釋一下。SO(3)，即3維特殊正交群的縮寫，是固定一箇中心點的3維空間旋轉的集合。一個空間的基本群是該空間中本質上不同的環路的集合——如果你可以將其中一個環路擺動成另一個環路，它們就是相同的環路。只有那些不能相互擺動的環路，從基本群的角度來看才是真正不同的環路。

這就是它真正變得抽象的地方。SO(3)基本群的一個元素是SO(3)中的一個環路。這個環路是SO(3)中的一組點。但是SO(3)中的點不是我們通常認為的空間中的點——每個“點”實際上是一個旋轉。這就是餡餅戲法可以幫助我們理解正在發生的事情的地方。

在餡餅戲法中，你手的方向——手掌朝向哪個方向以及手指指向哪個方向——代表SO(3)中的一個旋轉。出於解剖學原因，手在戲法過程中在空間中向上、向下和周圍移動，但對於我們的目的而言，這些運動並不重要，重要的是手的方向。在餡餅戲法中，手水平旋轉360°，始終保持手掌向上。這時，手肘會笨拙地向上指。然後手繼續朝同一方向再旋轉360°，突然手肘又恢復到中立位置。如果你在做餡餅戲法時拍了很多你手的照片，那麼你手中照片的方向將是SO(3)中的一條路徑。

在餡餅戲法進行到一半時，你的手與開始時的方向完全相同，或者，用旋轉的術語來說，你回到了SO(3)中你開始時的點。這意味著你的手臂到達那裡的過程是SO(3)中的一個環路——起點和終點相同的路徑。然而，你手肘的扭曲表明，你到達那裡的路徑是非平凡的。

有關餡餅戲法如何運作以及其全部含義的更多資訊，請參閱維基百科文章，其中有一些解釋並連結到更多資源。在Youtube上搜索Dirac belt可以找到更多關於該戲法的演示和解釋。我特別喜歡這位物理系學生的演示，她先用一杯水，然後用她的辮子。

我覺得在我真正理解餡餅戲法與3維空間旋轉以及更抽象空間之間的聯絡之前，我還有一些思考要做，但我需要休息一會兒。我的胳膊痠痛，而且所有關於餡餅的事情都讓我餓了。

感謝我在猶他大學的數學家朋友丹尼爾·斯圖登蒙德，幾年前在午餐時向我展示了這個戲法，並在本週早些時候幫助我記起它的內容。