南瓜香料格子季到了！

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點

幾年前，當我第一次看到社交媒體上關於 PSL 季節的帖子和表情包時，我有點困惑。我不喝咖啡，所以我不瞭解南瓜香料拿鐵的興起。我有時有點沉浸在數學的世界裡，但即使是我也沒有認為一大群人突然迷上了射影特殊線性群，僅僅因為它是秋天。

我寫這篇文章完全是因為首字母巧合嗎？是的。但是這些數學 PSL 與我息息相關，所以現在白楊樹葉變黃了，空氣中也有一絲涼意，我將充分利用這個關於寫射影特殊線性群的文字遊戲藉口。

在數學中，一個群是數學物件的集合，以及一種將它們組合以獲得同一組中其他物件的方法。一個簡單的群的例子是整數集和加法運算。當你將兩個整數相加時，你會得到另一個整數。（還有其他一些技術要求，但這就是主要思想。）

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數學 PSL 中的 L 表示線性，這是一種特殊的變換型別。這些變換可以用矩陣表示，矩陣是描述變換如何作用的數字陣列。

一位數學家，就像一位穿著瑜伽褲的 Instagram 使用者一樣，不會只點一杯 PSL；她會指定她想要什麼樣的 PSL。在咖啡店，您可能會說您想要加杏仁奶、一份特濃咖啡和少量甜味劑。在數學中，您將指定矩陣的維度以及它們包含的數字型別。

在我的研究生研究領域中，兩個 PSL 最受歡迎：PSL(2,Z) 和 PSL(2,R)。2 表示矩陣有兩行兩列。Z 代表整數，因此 PSL(2,Z) 中的矩陣必須具有整數項。R 代表實數，因此 PSL(2,R) 中的矩陣可以包含任何實數，包括分數和像 π 這樣的無理數。

我們已經講完了 PSL 中的 L。S 代表特殊，這意味著變換不會扭曲面積。此時，最好看一個例子。下面是一個矩陣變換正方形的示例：

因為現在是 PSL 季節，我當然用南瓜來做演示。每個整數座標點都有一個南瓜，形成一個漂亮的南瓜（香料）格子。我們正在看的正方形是四個南瓜之間的一小塊綠色區域。您可以將其視為左下角點為 (0,0)。變換後，得到的圖形仍然具有直線邊和相同的面積，但它不再是一個正方形。

一個稍微令人興奮的矩陣，也在 PSL(2,Z) 中，是

南瓜之間的草地在這種變換下變形更大，但它仍然具有與原始正方形相同的面積。幸運的是，您不必測量奇怪區域的面積即可確定您的 2x2 矩陣是否特殊。如果矩陣

是特殊的，則數量 ad-bc（稱為行列式）等於 1。

當我們離開 PSL(2,Z) 並移動到 PSL(2,R) 時，我們可以擁有像這樣的矩陣

這不僅拉伸和（眨眼）壓縮了正方形，而且還壓縮了南瓜格子，或者

它旋轉了正方形和格子。

現在我來坦白：到目前為止我所寫的內容對於群 SL(2,R) 和 SL(2,Z) 來說是正確的，但我們還沒有討論 P。P 代表射影，這意味著我們將相對的兩面視為相同。所以矩陣

被認為與矩陣相同

這種識別使討論 PSL(2,R) 中的矩陣有點不嚴謹。如果您嘗試將 PSL(2,R) 想象為一個空間，那麼空間的每個“點”都是一對矩陣，而不是單個矩陣。所以我一直在隱式地選擇考慮兩個矩陣中的一個，而不是兩個都考慮。

這使我們瞭解了 PSL(2,R) 和 PSL(2,Z) 在我的研究生研究領域中的真正用途。當我使用這些群時，並不是因為我正在考慮作用於平面上的特定矩陣。相反，我關心 PSL(2,R) 是因為它與雙曲平面的關係，雙曲平面是我研究的中心物件之一。研究空間的一個重要工具是其等距群，即保留空間中距離的變換集。在規則的歐幾里得平面中，平移和旋轉是等距的示例。雙曲平面的等距與 PSL(2,R) 的元素之間存在對應關係。對於 PSL(2,Z)，該群的元素與不同形狀的環面（帶有一個孔的表面）之間存在對應關係。

我最喜歡的關於數學的名言之一是亨利·龐加萊說的，“數學是給不同事物賦予相同名稱的藝術。”數學的真正工作通常在於找到正確的方法來給不同事物賦予相同的名稱。就這兩個 PSL 而言，這種對應關係為我們理解曲面奠定了堅實的基礎。至於其他 PSL，恐怕龐加萊沒有說太多關於咖啡的事情，但另一位數學家阿爾弗雷德·雷尼卻說了。他說（儘管這句話經常被歸因於保羅·埃爾德什）：“數學家是一種將咖啡變成定理的裝置。”我認為秋天的一個合理的推論是，喝 PSL 的數學家一定正在將其變成關於矩陣和曲面的定理。