非常特殊的三角形

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在整個（歐幾里得）世界中，直到簡單的縮放，只有一對三角形具有以下屬性

• 一個三角形是直角三角形，另一個是等腰三角形，

• 兩個三角形的所有邊長都是有理數，並且

• 兩個三角形的周長和麵積相等。

這對三角形中的直角三角形邊長為 (135, 352, 377)，等腰三角形邊長為 (132, 366, 366)。如果您有疑慮，可以輕鬆地將邊長相加，看看它們的周長是否相同。計算面積有點棘手。僅知道直角三角形的邊長即可輕鬆計算其面積：它是兩條較短邊乘積的一半。對於等腰三角形，您可以應用海倫公式，該公式僅使用三角形的邊長即可計算出三角形的面積，或者首先使用勾股定理找到三角形的高度，然後從那裡計算出三角形的面積。無論您採用哪種方法，您都會發現每個三角形的周長均為 864 個單位，面積均為 23,760 平方單位。

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我以前從未想過要嘗試找到兩個周長和麵積相同的有理三角形，所以當我發現時，我不知道該作何感想。（我為什麼如此擔心知道該作何感想是一個有趣的問題，超出了這篇博文的範圍。）這令人驚訝嗎？如果是這樣，是隻有一個這樣的對令人驚訝，還是沒有更多令人驚訝？我應該對這些非常特殊的三角形的邊長如此之大或如此之小感到驚訝嗎？我應該對證明這對三角形是獨一無二的論文去年才發表感到驚訝嗎？還是隻有五頁長？難道一切都不令人驚訝，還是一切都令人驚訝？這個我從未意識到自己有問題的問題的答案讓我產生了更多的問題。

證明 (135, 352, 377) 和 (132, 366, 366) 構成具有所需屬性的唯一三角形對的證明來自一個稱為代數幾何的數學領域。為了稍微簡化一下，代數幾何就像您的高中代數課——理解平面或更高維空間中符號方程和幾何圖形之間的關係——更進一步。代數幾何的中心問題之一是如何確定給定方程是否具有任何整數或有理數解，如果有，有多少個。（要使解被視為有理數，所有變數都必須取有理數值。也就是說，如果方程有兩個變數，x 和 y，則有理解將是 x 和 y 都是有理數的解。）例如，方程 x²−y²=5 有無限多個有理解和少量整數解，但方程 x³−y³=5 只有有限多個有理解，沒有整數解。有理點很難找到是有道理的：畢竟，無理數比有理數多得多。但有些多項式有很多有理解，有些則沒有。

揭示這對獨特三角形的論文的作者吉野介·平川和松村英樹表明，找到這樣一對三角形等同於找到特定方程的有理解。然後，他們呼叫一些關於具有某些屬性的方程可以有多少有理解的定理，追尋一些潛在有理解的線索，並發現只有一個實際上為他們提供了有效的三角形。證明很簡短，但需要一些高深的工具。

特殊對中的等腰三角形的所有邊長都是偶數。平川和松村在附錄中表明，如果我們要求兩個三角形都是本原的——也就是說，每個三角形的邊長都是整數，並且它們沒有大於 1 的公因子——那麼沒有一對三角形可以滿足所有三個標準。證明不存在滿足所有要求的本原對的證明比證明他們的特殊對是獨一無二的證明要簡單得多。另一方面，如果不要求三角形是直角三角形或等腰三角形，則有無限多對具有相同周長和麵積的有理三角形。我還沒有完全解決對此作何感想，但我認為這個問題是數學中有限與無限、容易與困難之間的界限本身可能很微妙且令人驚訝的又一個例子。