本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
在我們播客“我最喜歡的定理”的最新一集中，凱文·克努森和我與威斯康星大學歐克萊爾分校的數學教授 aBa Mbirika（簡稱 aBa）進行了交談。您可以在此處或kpknudson.com收聽該集節目，那裡還有一份文字稿。
如果您想觀看 aBa 在聯合數學會議上的演講，他在節目中提到了該演講，它已被錄製，您可以在此處觀看。
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與我們的許多嘉賓一樣，aBa 在選擇最喜歡的定理時遇到了困難。他帶領我們回顧了他最喜歡的幾個定理，然後選定了一個來詳細介紹。他選定的定理並不是一個重要的定理。你在任何教科書中都找不到它。但當 aBa 還是一名剛入門的數學學生時，它對他來說很重要。
許多人熟悉 3 和 9 的整除性檢驗：如果一個數（十進位制）的各位數字之和是 3 的倍數，則該數可以被 3 整除。如果各位數字之和是 9 的倍數，則該數是 9 的倍數。還有簡單的方法來判斷一個數是否可以被 2 或 5 或 11 整除。但您可能沒有學過 7 的整除性檢驗。（有一個，但它不像 3 和 9 的規則那樣容易使用。）
9 的整除性證明使用了模算術，在這種算術中，您只檢視數字除以另一個數字時的餘數。它也稱為時鐘算術，因為我們在報時時使用模 12 的算術。（10:00 過後五個小時是 3:00，因為 10+5=3 mod 12。）數字的各位數字之和是 9 的倍數，則該數可以被 9 整除的證明使用了十進位制數字系統的基數 10 模 9 為 1 的事實。整除性規則使用模算術，因為基本問題是：這個數除以另一個數時餘數是否為 0？
9 的證明讓 aBa 大開眼界，所以在他學習後不久，他決定看看還能用這個一般想法做些什麼。在一次長途巴士旅行中，他開始研究 7，看看相同的想法是否可以應用於 7 的整除性檢驗。10 等於 3 mod 7，所以他發現的檢驗使用了大量的 3。在十進位制中，我們將數字寫成 10 的冪的倍數之和。數字 3146 表示 6×100+4×101+1×102+3×103。如果我們試圖弄清楚這個數字模 7 是多少，我們可以把所有的 10 都改成 3。模 7，3846=6×30+4×31+1×32+3×33。然後，如果這個數字可以被 7 整除，那麼 3846 也可以。所以我們可以計算這個表示式：6+12+9+81=108。而 108 不是 7 的倍數，所以 3146 也不是。
7 的這個規則不如 3 和 9 的規則那樣易於推廣。您需要為 7 規則計算的 3 的冪變得笨拙。對於一個有 10 位數字的數字使用這個規則，需要將最左邊的數字乘以 59,049。（一個給感興趣的讀者的練習：弄清楚如何透過利用 3 的冪模 7 的迴圈性質來調整這個規則，使其更實用一些。）但即使這個規則不是很有用，aBa 告訴我們，弄清楚這個定理及其證明改變了他的人生。他第一次在數學中創造了一些新的東西，他對此著迷了。
恩裡克·特雷維尼奧是Lathisms 播客的嘉賓，他告訴了我一個類似的故事。讓他著迷的問題是證明序列 2、5、8、11、14，…，其中後一個數字比前一個數字大 3，沒有完全平方數。這個證明也使用了模算術，相當簡單，但他將其描述為一次“大開眼界”的經歷，為他的數學職業生涯鋪平了道路。
我懷疑許多其他數學家也有類似的故事，講述的是那些簡單、通常不起眼的定理和練習，最初讓他們覺得自己有能力在數學中進行創造。在我上的第一堂證明寫作課上，我確實有這種感覺。所以今天，我向那些幫助我們成為數學家的微小定理致敬。