瑞士乳酪的意外發現

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逼近是數學中反覆出現的主題。有時，似乎所有的數學都在說，“嗯，我知道如何在某個領域解決問題。有沒有辦法用這個領域來逼近其他領域？” 很多微積分都歸結為用線性函式逼近任意函式。（就我們的目的而言，“線性”意味著“完全表現良好”。）傅立葉分析是訊號處理的支柱，它完全是用簡單的正弦波之和來逼近複雜的週期函式。許多數學家花費時間思考什麼條件允許我們用更簡單的函式來逼近函式。一種稱為瑞士乳酪的數學空間是逼近無處不在的另一個例子。

就像熟食店的常見食品一樣，數學上的瑞士乳酪也佈滿了孔洞。為了製作瑞士乳酪，我們從一個封閉的圓盤或填充的圓開始，它是平面上所有距離中心點小於或等於給定距離（半徑）的點的集合。

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現在，我們以特定的方式在上面打滿孔。我們想要移除開放的圓盤（填充的圓盤，但不包括它們的邊界），並且我們對移除的圓盤有一些規則。如果你在數學中查詢瑞士乳酪的定義，你會看到各種各樣的定義，但就像埃曼塔乳酪和格魯耶爾乳酪一樣，它們只是不同的特定品種，都算作瑞士乳酪。

這是理論數學，我們移除了無限多個圓盤，但我們要求移除的圓盤的面積之和小於原始圓盤的面積（通常少得多），任何兩個移除的圓盤都不重疊，並且得到的空間沒有內部。也就是說，如果我們放大空間的任何部分，無論多小，它都有孔。很難想象這樣的空間（並且不可能畫出來，但這並沒有阻止我），但有一些方法可以確保定義在數學上有效。

瑞士數學家愛麗絲·羅斯是第一個描述這些空間的人，她試圖理解複平面中用有理函式逼近連續函式的極限。有理函式是兩個多項式的比率。你可能在代數課上熟悉多項式。它們是一些最簡單、最容易理解的函式。它們的表示式類似於 z+5 或 z³-9z+7。有理函式的表示式類似於 (z³-9z+7)/(z+5)。

是否總是可以用有理函式逼近連續函式，還是在某些空間中這種方法會失敗？羅斯和其他數學家證明，在瑞士乳酪上存在不能用有理函式逼近的連續函式。

我既是一名數學家，又是一位乳酪愛好者，所以當我第一次聽說有稱為瑞士乳酪的數學物件時，我被吸引住了。相關的研究論文標題令人愉快。抽象瑞士乳酪空間和瑞士乳酪的經典化。瑞士乳酪、有理逼近和通用平面曲線。關於兩個維納香腸的交集體積。（最後一篇論文描述了在另一個雙關數學空間維納香腸上進行的與瑞士乳酪相關的計算。數學家喜歡食物。）關於這方面的一切都與我的興趣相關。當我瞭解這個名字的歷史時，它變得更好了。

當愛麗絲·羅斯第一次描述它們時，她沒有使用“瑞士乳酪”這個術語。據我所知，她沒有給它們取任何特定的名字。她把它們作為她在蘇黎世瑞士聯邦理工學院的博士論文中的一個重要例子，因該論文獲獎，並獲得了博士學位。她做過三十年的高中老師，在此期間她沒有發表任何數學研究。退休後，她又重新投入研究，仍然在三十年前研究的同一領域，並在 60 多歲和 70 歲出頭時繼續從事重要的工作。（讓 G. H. 哈代和你的“數學是年輕人的遊戲”這種無稽之談見鬼去吧！）可悲的是，她在 72 歲時死於癌症，當時她仍然充滿數學創造力和熱情。

在羅斯的教學職業生涯中，當她離開研究界時，瑞士乳酪在 20 世紀 50 年代被蘇聯出生的亞美尼亞數學家謝爾蓋·梅爾格良獨立重新發現，他出於類似的原因構建了它們，探索了各種環境中逼近的侷限性。在某個時候，由於所有的孔洞，有人開始將它們稱為梅爾格良的瑞士乳酪。當羅斯回到研究時，她看到她的例子在出版物中歸因於梅爾格良，並糾正了這一記錄。結果證明，瑞士乳酪這個名字比創造它的人所能意識到的更恰當。

要了解更多關於愛麗絲·羅斯、她的瑞士乳酪以及她對逼近理論的其他貢獻，請檢視烏爾裡希·戴普、保羅·高蒂埃、帕梅拉·戈爾金和傑拉爾德·施米德的“瑞士的愛麗絲：愛麗絲·羅斯的生活和數學”。