關於整數，我所知道的最悲傷的事情

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

整數是唯一分解整環，所以我們無法調音鋼琴。這是關於整數，我所知道的最悲傷的事情。

本月早些時候，我和一群女童子軍談論了數學，其中一個主題是數學和音樂的交叉點。我選擇專注於我們如何將聲波頻率的比率感知為音程。我們將頻率比為 2:1 的聲音解釋為八度音程。（頻率越高聽起來越高。）我們將頻率比為 3:2 的聲音解釋為純五度音程。可悲的是，我不得不告訴女孩們，這兩個事實意味著沒有鋼琴是音準的。換句話說，你可以調味金槍魚，但你不能調音鋼琴。

關於支援科學新聞報道

如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保有關塑造我們當今世界的發現和想法的具有影響力的故事的未來。

當我們調音樂器時，我們希望我們所有的八度和五度音程都是完美的。一種調音樂器的方法是從一個音高開始，然後算出其上方和下方的五度音程。我們從某個頻率開始，稱之為 C。然後，頻率的 3/2 倍是 G，頻率的 9/4 倍是 D（比原始 C 高一個八度和一步），以此類推。如果您在音樂生涯的某個時刻了解過“五度圈”，那麼您就會知道，如果我們一直向上走五度，我們最終會回到我們想稱之為 C 的音符。總共需要 12 步，因此如果我們保持所有五度音程完美，我們最終得到的 C 的頻率是原始 C 頻率的 3¹²/2¹²，或 531441/4096 倍。您可能會注意到 531441/4096 不是整數，更不用說 2 的冪了，所以我們的耳朵不會認為最終的 C 與最初的 C 音準一致。（531441/4096 大約是 130，比 2 的冪多 2，所以我們會聽到頂部的 C 音偏高。）這不是假設從 C 到閃亮的 C 需要 12 個五度音程的問題。我們永遠無法從一堆五度音程中獲得完美的八度音程，因為 3/2 的任何冪都不會給我們 2 的冪。

不完美的八度音程對於任何聽眾來說都是相當不能接受的，作為一名絃樂演奏者，我非常喜歡完美的五度音程。所以我不能同時擁有它們已經夠令人失望了。但是當我們新增三度音程時，故事變得更加複雜。即使我們能夠解決討厭的五度/八度問題，我們也會陷入一些聽起來非常奇怪的和絃。當我們聽到頻率比為 5:4 的聲音時，我們會聽到一個完美調音的大三度音程（C 和 E 之間的音程）。但是，如果我們圍繞五度圈進行毫不妥協的完美五度音程，我們會得到 3⁴/2⁴=81/16。如果我們除以 2 幾次將 E 移回與 C 相同的八度音程，我們最終會得到 81:64 的比率，這比 5:4（或 80:64）略大，這意味著從 C 到 E 的大三度音程聽起來太寬了。因此，五度音程也與大三度音程不相容！再一次，我們永遠無法從一堆五度音程中獲得完美調音的大三度音程，也無法從一堆大三度音程中獲得完美的五度音程，因為 5/4 的任何冪都不等於 3/2 的冪。

責怪唯一分解性。我們理所當然地認為整數的一個性質是，我們可以將除 -1、0 或 1 之外的任何整數分解為其質因數，並且分解是唯一的。（我們稱之為算術基本定理。）因此，我們可以稱整數為唯一分解整環。（如果您是真正的吹毛求疵者，您可能會擔心負整數。分解在數字的符號上是唯一的，這足以成為唯一分解整環。如果這仍然困擾您，請忽略小於 2 的整數。）作為一個思想實驗，我決定看看我們是否可以透過從整數擴充套件到另一組像整數一樣的數字來解決這個問題，因為它們也可以相乘或相加。

一組這樣的數字稱為高斯整數，它由 a+bi 形式的複數組成，其中 a 和 b 都是整數，i²=-1。在高斯整數中，2 不再是質數，因為它可以分解為 (1+i)×(1-i)，它們恰好是質數。5 也不是，它可以寫成 (1+2i)×(1-2i)。但是 3 在高斯整數中仍然是質數（這並不明顯，但它是真的）。因此，2 和 3 仍然在高斯整數上沒有共同的質因數，所以我們無法在那裡解決我們的八度/五度問題。（並不是說我甚至知道用高斯整數除以頻率意味著什麼。就像我說的那樣，這是一個思想實驗。）同樣，5 和 2 沒有共同的高斯質因數，5 和 3 也沒有。所以即使用複數除以頻率有意義，那也沒有幫助。

一組更奇怪的數字是 a+√5bi 形式的複數集合，或 Z[√-5]。看起來這與高斯整數沒有什麼不同，但事實並非如此。它不是唯一分解整環。例如，數字 6 可以分解為 2×3 或 (1+√5i)×(1-√5i)。* 這並不明顯，但 2 和 3 不能進一步分解；它們是不可約的，(1+√5i) 和 (1-√5i) 也是如此。所以 6 有兩種不同的分解方式。這會有幫助嗎？好吧，如果我們將五度和八度結合起來，我們最終可能會在我們的頻率比中得到一些 6 的冪。但是假設我們可以將 6 的冪除以 1+√5i 和 1-√5i。我們會怎麼樣？我們將 6 的冪減少了 1，但我們離將 3 變成 2 更遠了。真倒黴！但至少我們玩了一些二次整數，對吧？

您可能已經注意到鋼琴音樂並不總是聽起來不和諧，因此質數困境肯定有一些解決方案。妥協，我的朋友。目前，大多數樂器都使用平均律，這使得所有五度音程都比完美的稍窄，這樣八度音程就會音準。每個半音階與任何其他半音階具有相同的頻率比率，並且該比率為 2^1/12:1。我們失去了使畢達哥拉斯音程聽起來如此悅耳的純有理比率，但我們獲得了很多。畢達哥拉斯五度音程和平均律五度音程之間的差異不足以打擾除最挑剔的聽眾之外的任何人，但有些人可以察覺到。在平均律成為主流之前，至少對於鍵盤樂器和其他演奏者無法對音高進行細微調整的樂器而言，還有幾種其他的律制妥協方案在使用。

一種解決方案是調整樂器，使某些調（通常是“容易”的調，如 C、G 和 D）的重要和絃的八度音程、五度音程和/或三度音程是完美的或非常接近完美的，但對於某些其他調則很糟糕。這些系統（通常是中庸全音律）最終產生了比完美五度音程窄得多的“狼五度”。具有狼五度音程的樂器實際上無法在某些調中演奏。然後出現了優律，它不是一個系統，而是許多不規則的律制，這些律制使不同的調聽起來不同，但沒有讓任何調發出狼嚎般的聲音，可以這麼說。“十二平均律鋼琴曲集”中的“優律”不是指樂器優美的音色（或樂器演奏者的平靜心態），而是指該套曲是為具有律制的鍵盤樂器而創作的，該律制允許樂器在每個調中演奏。（《十二平均律鋼琴曲集》是一套 24 首前奏曲和賦格曲，每個大調和小調各一首。學者們不知道鍵盤樂器的律制究竟是什麼，但不太可能是平均律，正如一些音樂家所假設的那樣。）

3/2、2 和 5/4 是不可公度的，這讓我感到非常悲傷，但本週晚些時候，我希望分享一個我和女童子軍一起做的關於音高感知的有趣的實驗。它不依賴於同時擁有完美調音的五度、三度和八度音程，因此它不應該引起與律制相同的存在焦慮。

*本句和本段落中的其他句子在發表後進行了編輯，以糾正缺失的平方根符號。