擴充套件我們數學想象力的怪物

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

在我們最近一期的播客節目“我最喜歡的定理”中，我的聯合主持人凱文·克努森和我有機會與本·奧林（Ben Orlin）交談，他是一位數學教育家，也是熱門部落格Math With Bad Drawings以及兩本書《Math With Bad Drawings》和《Change Is the Only Constant》的作者。 您可以在此處或kpknudson.com收聽該節目，那裡還有一份文字稿。

奧林決定不談論定理，而是談論一個最喜歡的數學物件——魏爾斯特拉斯函式。這個函式有時被稱為“怪物”，它回答了連續性和可微性之間關係有多密切的問題。在數學中，[連續性](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%BA%8C%E5%87%BD%E6%95%B0)大致是您可能認為的那樣：如果附近的輸入被髮送到附近的輸出，則函式是連續的。（有更嚴格的定義嗎？有！如果您堅持，請點選這裡。）如果每個點都可以找到[切線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E7%BA%BF)，即近似函式在該點附近路徑的直線，則函式是可微的。

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粗略地說，當您考慮函式圖時，連續函式是沒有跳躍的函式，而可微函式是沒有角或尖峰的函式。 似乎很明顯，函式必須是連續的才能是可微的。一個帶有一個角的函式——例如絕對值函式 f(x)=|x|，其中如果 x 大於或等於 0，則 |x|=x，如果 x 小於 0，則 |x|= −x——在任何地方都是連續的，但在除 x=0 之外的任何地方都是可微的，因為它在該處有一個角。

構造一個有很多角的函式並不太難。 例如，您可以建立一個在每個整數處都有峰或谷的鋸齒函式。 該函式在除那些孤立點之外的任何地方都是可微的，這些孤立點在數量上是無限的，但在空間上是禮貌地隔開的。 魏爾斯特拉斯想知道連續函式可以有多麼不可微的極限，而這個例子表明它可以非常不可微！ 雖然該函式在任何地方都是連續的，但在任何點都不可微。

為了嚴謹起見，說這個魏爾斯特拉斯函式是不完全準確的。 魏爾斯特拉斯最初的構造允許選擇兩個引數，因此存在一系列這樣的函式。 自魏爾斯特拉斯首次發表他的曲線以來，其他數學家已經定義了更多這樣的怪物，甚至證明在某種意義上，大多數連續曲線都是處處不可微的。 這對於我們這些喜歡整潔數學的人來說是一個打擊，但也許我們可以將其視為邀請，讓我們對我們在數學中應該期望什麼進行更大膽和更奇怪的思考。

在“我最喜歡的定理”的每一集中，我們都會要求嘉賓將他們的定理與某些事物配對。 您必須觀看該節目才能瞭解奧林為什麼認為[分子美食學](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%AD%90%E6%96%99%E7%90%86)是魏爾斯特拉斯函式的理想搭配。