本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
假設你有一些數字，並且想要生成一個數字來代表它們的典型值。如果你學過一點數學或統計學，你可能會想到均值——確切地說是算術平均值。將這些數字加在一起，然後除以你擁有的數字個數。就這麼簡單。
但也許你有點像 Chidi，而且更糟糕的是，你在某個時候瞭解了幾何平均值。幾何平均值是統計學家所說的另一種集中趨勢的度量。幾何平均值就像算術平均值，但你將加法變為乘法，將除法變為開根號。要找到兩個數字的幾何平均值，將它們相乘，然後取其乘積的平方根。（此運算只能對兩個都為正數或都為負數的數字執行。但世界已經夠負面的了。我們只考慮正數！）名副其實，這個均值有一個很好的幾何解釋：它是邊長與以你的兩個數字為邊長的矩形面積相同的正方形的邊長。要找到許多數字（假設是n個）的幾何平均值，將它們全部相乘，然後開n次方根。
瞭解了算術平均值和幾何平均值，你陷入了內心的掙扎：哪個均值最能代表你的數字？
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算術平均值很好。它看起來非常平衡和公平。但幾何平均值也有其優點。當您處理乘法而非加法過程（如利率）時，它是一個有用的工具。無論您是取兩個數字還是許多數字的幾何平均值，它都比算術平均值更能將較大的數字拉近較小的數字。對於具有許多較小值和少數較大值的資料集（例如，收入分配），幾何平均值可能比算術平均值甚至中位數更能代表資料。
到底選哪個好呢？做決定真難！
為什麼不都選呢？
算術-幾何平均值讓您在您最喜歡的兩個正數之間找到一個數字，它是算術平均值和幾何平均值之間的折衷，讓您內心的 Chidi 可以安心。
找到算術-幾何平均值是一個迭代過程。每個步驟都會生成兩個數字：前兩個數字的算術平均值和幾何平均值。因此，從 1 和 2 開始，第一步生成兩個數字 3/2 和 √2。在下一步中，您找到 3/2 和 √2 的算術平均值，約為 1.457，以及 3/2 和 √2 的幾何平均值，約為 1.456。在那時，您獲得的兩個值已經非常接近，隨後的迭代將產生兩個任意接近的數字。在此過程中產生的算術平均值和幾何平均值的極限是相同的，因此它被稱為算術-幾何平均值。1 和 2 的算術-幾何平均值為 1.45679…；有點令人失望的是，如果它以 1.456789 開頭會更有趣，但無論如何，這是一個令人滿意的答案。
兩個數字的算術-幾何平均值的近似值非常快地接近在一起，因此該過程已被用於找到無理數的良好近似值，如這篇關於如何使用它來近似 π 的論文中所述。
如果你有超過兩個數字怎麼辦？據我所知，沒有人定義過任意一組正數的算術-幾何平均值，但這並沒有阻止我。我不打算將推廣後的均值稱為算術-幾何平均值，以確保沒有人認為這是一個“官方”數學術語。相反，我將其稱為 ditherer 均值。
對於兩個數字的算術-幾何平均值，我們有一個迭代過程，每一步都給我們兩個數字。一種思考方式是，我們將最小的數字替換為前一個數字的幾何平均值，將最大的數字替換為它們的算術平均值。對於 ditherer 均值，我們將做同樣的事情。
要取 n 個數字的 ditherer 均值，我們需要一個迭代過程，每一步都給我們 n 個數字。因此，在每一步中，我們將前一個數字列表中的最小數字替換為前一個數字的幾何平均值，將最大的數字替換為這些數字的算術平均值。
讓我們看一下一組 4 個數字，以瞭解該過程是如何工作的。我們將從數字 1、5、20 和 26 開始。這些數字的算術平均值為 13，幾何平均值約為 7.14。因此，我們用 13 和 7.14 替換我們第一個列表中的最大和最小數字。現在我們有了數字 5、7.14、13 和 20。我們重複這個過程。這四個數字的算術平均值約為 11.285。幾何平均值約為 9.82。現在我們的列表是 7.14、9.82、11.285 和 13。算術平均值為 10.31，幾何平均值為 10.07。繼續：9.82、10.07、10.31、11.285。然後是 10.07、10.31、10.35、10.37。有進展！再迭代幾次，很明顯這些數字越來越接近，最終接近 10.3。
兩個數字的算術-幾何平均值一直是數學中一個有用的概念。產生它的迭代過程收斂速度非常快，因此已被用於快速準確地計算近似值，如這篇關於使用算術-幾何平均值計算 π 的論文中所述。據我所知，數學家尚未發現 ditherer 均值的用途，但我希望它能幫助一些優柔寡斷的人計算平均值並繼續他們的生活。
這就是你所擁有的：現在你可以找到一組正數的平均值，而無需在它們的算術平均值和幾何平均值之間做出選擇。數學總是給你一個整潔的答案，沒有不確定性或歧義，這難道不美妙嗎？