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多元微積分從來不是我最擅長的科目——我對圖形和方程沒有很好的直覺，所以我經常難以視覺化問題。我傾向於像拓撲學家或一個玩橡皮泥的幼兒那樣看待形狀：對我來說，確切的方程不是特別重要，重要的是大規模的特徵。我把數學形狀想象成用粘土做成的，而不是用精確的公式繪製的圖形。總而言之，當有人給我看一個方程，而我應該知道如果把它畫成圖形會是什麼樣子，或者當我要用方程來描繪我看到的影像時，我仍然會感到有點畏懼。
今年夏天早些時候，在一個關於數學繪圖的愉快會議上，一位演講者向我們介紹了Surfer，我開始玩了起來。Surfer是一個免費程式，您可以從開放數學網站Imaginary下載，它具有簡單的學習曲線。該程式內建了許多方程及其圖形，您可以在安裝後立即開始修改它們。
當我們在玩Surfer時，另一位與會者製作了一個讓我驚訝的形狀：兩個連結在一起的空心環，或稱圓環面，如圖所示在本帖頂部。“他是怎麼做到的？”我想，“找到一個可以同時建立這兩個圓環面的方程一定非常困難！”
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然後他向我展示了他使用的方程，我突然領悟到：當您繪製方程圖形時，同時繪製多個物件並不難，因為繪圖可以讓您將加法變成乘法。
通常我們認為乘法比加法更復雜，因此將加法變成乘法似乎是錯誤的方向。優秀部落格Math with Bad Drawings的Ben Orlin最近寫了一篇關於對數的節奏（或者更不詩意地說，對數）的文章，其中強調了對數最重要的一個方面：它們將乘法變成加法。
作為複習，取對數是指數運算的逆運算。指數運算是求冪：例如，34表示3×3×3×3。由於對數是指數的逆運算，因此方程34=81等價於log3(81)=4。概括來說，y=bx 和 x=logb(y) 編碼了底數 b 與數字 x 和 y 之間的相同關係。
對數透過利用指數的這個性質將乘法變成加法：bxby=bx+y，因此 logb(xy)=logb(x)+logb(y)。 （有關其工作原理的詳細資訊，請檢視有關對數和指數運算的此頁面。）計算尺是現代計算器取代它們之前必不可少的計算工具，它們利用了這種關係。現在它們可能看起來笨重，但在每個人都有計算器或計算機為他們進行算術運算之前，對數使人們能夠進行比傳統乘法演算法快得多的計算。
當我們在進行算術運算時，加法比乘法更容易，因此我們使用對數將乘法問題變成加法問題。但是正如我在玩Surfer時意識到的那樣，當我們在繪製多項式圖形時，乘法比加法更容易。我們可以透過將兩個形狀的方程相乘來“相加”這兩個形狀。
為了說明我的意思，讓我們看看如何在Surfer中繪製方程圖形。
Surfer的輸入框。圖片來源：伊芙琳·蘭姆
該介面允許您在等號的左側輸入變數x、y和z的方程，但右側始終固定為0。
起初，這似乎很侷限。例如，半徑為1的球體的方程是x2+y2+z2=1，我們無法將其輸入到Surfer中。但是透過從方程的兩邊減去1，我們得到了完全可以接受的，如果稍微不那麼美觀的，x2+y2+z2-1=0。作為獎勵，我們得到了一個閃亮的粉紅色球體。
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圖片來源：伊芙琳·蘭姆
為什麼右側總是0？如果您回想一下數學課要求您處理多項式，您可能會記得0是一個神奇的數字。例如，如果我要求您解方程x2+x=12，您可能會本能地從兩邊減去12（或“將12移到另一邊”）得到x2+x-12=0，然後將左側分解為(x+4)(x-3)，並告訴我x是-4或3。那是因為當方程的一側為0時，因式分解非常有用，而當方程的一側不為0時，因式分解就沒那麼有用。
如果我們的方程是(x+4)(x-3)=2，我們就沒有什麼可繼續下去的了。如果兩個數相乘等於2，其中一個可能是1，另一個可能是2，或者一個可能是π，另一個可能是2/π，或者一個可能是-1/2，另一個可能是-4。但是如果兩個數相乘等於0，那麼其中一個數必須是0本身——反之亦然：如果您將兩個東西相乘，其中一個為0，則乘積也必須為0。
另一種思考方式是，在乘法中，0就像“或”字。 如果我們有兩個多項式f和g，並將它們相乘得到0，則語句f×g=0等價於“f或g為0”。可能f和g都為0，但“或”是所有必要的條件。當您以這種方式思考時，借用斯蒂芬·桑德海姆在《拜訪森林》中麵包師妻子的臺詞，“或”字 比以前意味著更多。
我們可以利用乘法的這個性質使加法更容易。如果我們知道如何為兩個不同的形狀或同一形狀在兩個不同的位置編寫方程，我們可以將我們得到的兩個方程相乘。當其中任何一個方程滿足時，結果方程都將滿足，這等效於同時繪製兩個形狀。我們將繪製兩個形狀的加法問題變成了多項式的乘法問題。
你們中的一些人可能對我隨意使用“加法”這個詞感到惱火。加法是用於數字的。加形狀是什麼意思？你抓到我了。我真正應該在這裡使用的詞是並集。
在數學中，取兩個事物的並集只是意味著您將這兩個事物組合在一起。如果您取奇數整數和偶數整數的並集，您將得到所有整數。如果您取一個甜甜圈和另一個不與其重疊的甜甜圈的並集，您將得到兩個甜甜圈。
就像乘法中的0一樣，並集類似於“或”字。如果某物在集合A並集集合B中，則它必須在集合A或集合B中。這與兩個集合的交集形成對比，交集就像“與”。如果某物在集合A交集集合B中，則它必須同時在集合A和集合B中。
回到會議上，當我第一次看到我的Surfer同伴建立的連結圓環面時，我感到害怕，因為我把這個問題看作是一個與的問題。但它是或， 而或更容易。