本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
本週早些時候，我想起了喬丹·艾倫伯格的 《How Not to Be Wrong》 中的一段話
這是我最早的數學記憶。我躺在父母家的地板上，臉頰貼著長毛地毯，看著立體聲音響。很可能我在聽披頭士樂隊《藍色專輯》的 B 面。也許我六歲。那是七十年代，因此立體聲音響被包裹在壓制木板中，側面衝壓著矩形陣列的通氣孔。橫向八個孔，縱向六個孔。所以我躺在那裡，看著通氣孔。六排孔。八列孔。透過來回聚焦我的目光，我可以讓我的大腦在看到行和看到列之間來回切換。六行，每行八個孔。八列，每列六個孔。 然後我就明白了——八組六個和六組八個是相同的。不是因為它是我被告知的規則，而是因為不可能是其他方式。面板上的孔數就是面板上的孔數，無論你以哪種方式計數。
5×3 是五組三個還是三組五個，是本週早些時候那些“共同核心數學” 憤怒帖子 的中心問題。（我把“共同核心”放在引號中，因為儘管這些問題通常被分享為“共同核心”數學的例子，但共同核心是一套標準，而不是課程。有關這種差異的更多資訊，請參見 共同核心網站。）
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我通常儘量避免過多評論我在 Facebook 或 Twitter 上看到的關於贊成或反對“共同核心”數學的帖子。我沒有孩子，也沒有太多教孩子的經驗，所以我感覺自己沒有資格對小學不同教學或學習方法的優劣做出全面的評價。
話雖如此，我確實以某種興趣關注著共同核心的帖子。數學教育對我來說很重要，我也有興趣看到它做得好。總的來說，我傾向於贊同 Brett Berry 的 Medium 帖子 中表達的觀點。在我看來，有時對“共同核心數學”感到沮喪的家長在他們自己的數學課上沒有良好的體驗，並且不具備共同核心旨在在兒童中培養的某些數學能力。如果舊的教學方法效果不佳，那麼反對新的教學方法似乎是短視的。
在 最近的一次爭議爆發 中，一位學生被要求透過重複加法解決 5×3，並寫下 5+5+5=15。“正確答案”應該是 3+3+3+3+3=15。下一個問題要求學生使用陣列解決 4x6。學生畫了一個 6 行 4 列的陣列，而不是 4 行 6 列的陣列，因此失去了一分。
正如年輕的喬丹·艾倫伯格在盯著立體聲音響時發現的那樣，這是一個基本的數學事實，乘法運算中數字的順序無關緊要。乘法滿足交換律：三組五個與五組三個具有相同數量的物體。當學生的答案正確時，很容易感到憤怒，因為學生受到了懲罰。《友好無神論者》部落格的作者赫曼特·梅塔 Friendly Atheist，寫了一篇長篇博文，列出了老師可能將 5+5+5 標記為不正確的幾個原因。梅塔的基本論點是，老師不僅在教學生現在如何解決問題，而且還在為他們未來的數學課做準備。（如果您好奇，他確實連結到了 共同核心標準，該標準提到了乘法中的分組。）
我同意梅塔寫的一些內容，但我有兩個主要的異議。一個是關於語義的，另一個是關於更廣泛的教學目標的。
首先，語義。5x3 是什麼意思？我認為對於五組三個或三組五個，都可以做出同樣（不）令人信服的案例。如果我們說“五乘以三”，那麼這些詞語的字面意思更像是五組三個而不是三組五個，但這並不是我們在英語中通常會說的方式。我認為五組三個的解釋略佔優勢，但只是略微的。
另一方面，如果我們看數學符號，則可以認為三組五個的擴充套件性更好。具體來說，如果我們想將乘法視為重複加法，將指數運算視為重複乘法，並將 ↑↑ 視為重複指數運算，那麼三組五個是可行的方法。53 表示 5×5×5，而不是 3×3×3×3×3。將 5×3 視為 5+5+5 更符合這種符號表示法。（您可能會爭辯說我們的指數運算子號應該改變，但您將面臨一場艱苦的戰鬥。）
總而言之，在我看來，從語義的角度來看，5x3 在五組三個和三組五個之間是平局。《共同核心標準》提到，“解釋整數的乘積，例如，將 5×7 解釋為每組 7 個物體的 5 組物體中的總數。”我不清楚這是否是我們應該解釋 5×7 的唯一方式。
這引出了我的下一個異議，這可能是更實質性的，但也可能更依賴於具體情況。我沒有上過這位老師的課，所以我不知道為什麼將 5x3 視為五組三個而不是三組五個對他或她很重要。我不知道學生們是剛學了乘法還是在複習乘法，或者老師對乘法的行 x 列檢視有多重視。
考慮到這些注意事項，我的異議是梅塔的建議，即將 5x3 視為五組三個將在未來幫助學生學習除法或矩陣乘法。
首先，我不相信關於除法的論點。梅塔寫道：
當他們看到一個問題說 5 x ___ = 15 時，他們會想“我需要五組某個數字才能得到 15。”換句話說，他們能夠更快地掌握除法，因為他們現在正在學習正確的思考方式。
我不太確定。如果他們看到一個問題說 5×___=15，並想“我需要某個數量的五組才能得到 15”，我覺得他們同樣為除法做好了準備。我不清楚哪種思考方式能更好地建立對除法的直覺。
矩陣乘法呢？確實，對於矩陣來說，A×B 通常與 B×A 不同。（它甚至可能是不同大小的矩陣。）學生有時會與這種殘酷的現實作鬥爭，我同意值得嘗試幫助他們防止犯這個錯誤。在矩形陣列問題的情況下，我不相信堅持第一個數字必須是行數，第二個數字必須是列數會幫助學生未來學習矩陣乘法。正如 安迪·基爾什寫道，“將矩陣描述為行乘列本質上是任意的。我們本可以同樣容易地選擇將它們寫成列乘行。”即使這有助於學生記住矩陣乘法的工作方式，我擔心現在過於強調哪個數字是列，哪個是行會犧牲數感，以便以後學習矩陣乘法，而且我很難相信這種權衡是值得的。
我記得在小學時發現，如果我將一個數字乘以 10，然後除以 2，最終結果就是乘以 5。我可以在腦海中進行乘以 10 和除以 2 的運算，所以這省去了我手動寫下乘法演算法的麻煩。我以為我在作弊。乘法是你透過在一列中寫下兩個數字，然後按照規定的順序將一堆記憶的事實應用到它們上來完成的事情。對我來說，我的方法給出了正確的答案是有道理的，但我認為你不應該那樣做。過了一段時間我才明白，擁有一套強大的方法來解決算術問題是有幫助的，而不是作弊。
總的來說，<0xC2><0xA0>共同核心似乎鼓勵培養數感和使用多種方法解決問題，這本可以緩解我小學時的良心不安。數感的一個重要組成部分是利用加法和乘法的結合律和交換律來使問題更容易。45+38 有點難，但我可以將 45 中的 2 轉移到 38 中，得到 43+40，這我可以用心算完成。我擔心，如果我們對 5×3 的含義過於死板，我們就不會鼓勵學生培養對數字的流暢性，而這種流暢性將幫助他們找到解決算術問題的簡便方法。
您認為強調乘法的行和列檢視會避免學生將來在學習矩陣乘法時遇到太多麻煩嗎？<0xC2><0xA0>您認為是否有充分的教學理由讓學生區分五個 3 和三個 5？在學生可以互換使用五組三和三組五之前，他們能夠解釋為什麼它們是相同的很重要嗎？您認為將 5×3 解釋為五組三還是三組五更自然？我很想知道您的想法。
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