本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
我昨天寫了一篇關於消失的基頻效應的文章。這是一種令人驚訝的聽覺錯覺，你的大腦會聽到一個比實際播放的任何音符都低的音符。
我決定去Desmos，一個線上圖形計算器，並擺弄正弦波，看看消失的基頻是否像看起來那麼奇怪。記住，聲音和樂器產生的聲音是由許多不同的正弦波組成的。最低的那個被稱為基頻，其他的通常是基頻的整數倍，也稱為諧波。
為了開始我的音樂視覺化，我繪製了函式y=sin(x)和y=sin(2x)的影像，y=sin(2x)的振盪速度是sin(x)的兩倍。用音樂術語來說，這些將是頻率比為1:2或八度的音高。聲波是可疊加的，所以我還繪製了函式y=sin(x)+sin(2x)的影像。像sin(x)一樣，這是一個週期函式，它與sin(x)具有相同的週期。在音樂上，它聽起來會像sin(x)一樣的音高，但音色或音質會有所不同。
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然後我繪製了函式 y=sin(nx)，一直到 n=7。你可以看到有很多變化，但是這些圖在幾個地方都對齊了。
下面是所有這些函式的總和。這是一個週期函式，與sin(x)具有相同的週期。再一次，我們會聽到與sin(x)相同的音高，但音色會與純正弦波不同。
現在我們將直觀地建立消失的基頻效應。我們將從正弦波 y=sin(2x)、y=sin(4x) 和 y=sin(6x) 開始。它們的對齊頻率是 sin(x) 的兩倍，因此在音樂上，我們會聽到比 sin(x) 高八度的音高。
現在我們加上 sin(7x)。在音樂上，波 sin(7x) 的音高將比 sin(x) 的音高高兩個八度和一個小七度。因為 7 是奇數，所以 sin(7x) 的圖在其他所有圖匯聚的一些地方都有一個峰值，並且它改變了模式重複的方式。你可以看到這些函式對齊的頻率只有偶數函式的一半。
這就是這些函式的總和的樣子。
這個函式的週期與 sin(x) 的週期相同。是的，在 sin(2x) 的週期所在位置的中間有一個明顯的凸起，但波形與從 sin(x) 到 sin(7x) 的所有函式的總和的波形非常相似。下面是一個比較。
函式 y=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)+sin(7x) 以黑色顯示，函式 y=sin(2x)+sin(4x)+sin(6x)+sin(7x) 以橙色顯示。
在實踐中，您可能會聽到它的頻率與 sin(x) 相同，這意味著新增高頻音符 sin(7x) 會降低感知到的音高。如果我們新增更多較低的奇數“諧波”，我們會得到更接近 f(x) 的東西。
函式 y=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)+sin(7x) 以黑色顯示，函式 y=sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)+sin(7x) 以藍色顯示。
在擺弄了這些圖之後，我對消失的基頻效應不再感到驚訝。它看起來像鴨子，所以為什麼它不應該像鴨子一樣嘎嘎叫呢？但是這個實驗確實讓我重新思考了我對將聲音加在一起意味著什麼的直覺想法。我們的大腦沒有為我們聽到的每種聲音設定單獨的通道。一切都進入耳朵，當我們找到模式時，我們將它們解釋為音樂、聲音、汽車喇叭或任何東西。當我們對著電話說話，電話接收到的是藍色波而不是黑色波時，我們的耳朵會聽到非常像黑色波的東西。當然，真實的聲音比我製作的波形複雜得多，但是擺弄這些圖有助於我更清楚地理解為什麼會發生消失的基頻。如果您想自己玩一下，Desmos只需點選一下即可。
這個透過新增三角函式建立波形的過程稱為合成，我們也可以逆轉這個過程，從一個週期函式開始，將其分解為正弦和餘弦的和。這被稱為傅立葉分析，工程學教授比爾·哈馬克有一個很棒的影片系列，解釋了一種叫做諧波分析儀的十九世紀機器，它可以機械地執行合成和傅立葉分析。警告：可能會讓您渴望擁有自己的諧波分析儀。