本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
大約一個月前，我從一個夢中醒來，對我要為情人節寫的精彩博文感到非常興奮。在我的夢中，我將連分數的數學概念視為浪漫的隱喻，我震驚地發現沒有人寫過關於這兩個主題之間美麗而自然的對應關係。當我的大腦更充分地進入現實世界時，我意識到這種對應關係並不那麼自然，甚至可能並不美麗。但我不會讓這阻止我！在這個情人節，我不會試圖用心形線和心形的謝爾賓斯基三角形來吸引你。相反，準備好被連分數所震撼吧，這是慶祝數學情人節最夢幻的新方式！
首先，連分數看起來很像分數，但更進一步。
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與像 1/2 這樣的數字不同，它在分子和分母處停止，分母也包含一個分數。而該分數的分母又包含一個分數，依此類推。我們可以在這樣的表示式中包含有限或無限數量的項。如果是有限的，那麼不難看出連分數表示一個有理數。
另一方面，如果連分數有無限數量的項，那麼它表示一個無理數。實際上，這是連分數相對於數字的十進位制表示的一個巨大優勢。一些有理數，例如 1/3=.333333… 和 1/7=.142857... 具有非終止（但迴圈）的十進位制表示。一個數字的十進位制表示是否終止不僅取決於該數字是否是有理數，還取決於有理數的分母與十進位制系統的基數 10 的關係。這有點武斷：為什麼表示是否終止應該基於數字 10 的屬性？連分數的一個優點是它沒有內建這種不對稱性。
就本文而言，我們將要求連分數的分母中只能有 1，分母中只能有正整數，儘管我們允許在前面新增任意正整數或負整數。所以我們討論的是看起來像這樣的表示式。
我們可以編寫不遵循這些規則的連分數，但這些規則使我們有可能證明更有意義的定理。（難道這不是我們所有人在生活中都想要的嗎？）
當我們遵循這些規則時，每個數字的連分數表示幾乎是唯一的。每個有理數實際上都有兩個連分數表示，但這只是一個愚蠢的原因。
另一方面，每個無理數都有完全唯一的連分數表示形式。
連分數很酷，因為在可量化的方式中，它們是數字的最佳近似值。使用十進位制，我們始終可以將任何有理數或無理數近似到我們想要的任何精度，因此談論數字的“最佳”近似值聽起來有點奇怪。但是，在這種上下文中，“最佳”是指分母小於或等於給定數字的最佳近似值。如果您截斷數字 q 的連分數展開式，那麼您得到的有理數是在不必使用更大的分母的情況下最接近 q 的數。舉一個具體的例子，考慮數字 0.76。它可以近似到最接近的四分之一，即 3/4=0.75，或最接近的五分之一，即 4/5=0.8。近似到最接近的四分之一時誤差較小，因此 4/5 不是最佳近似值。
在這個最佳近似值的框架內，存在更好和更差的最佳近似值。這變得非常元，但總體思路是，對於某些數字，連分數的每個連續級別的誤差都比其他數字的誤差更差。從這個意義上說，最差的數字是黃金比例，也稱為 φ 或 (1+√5)⁄2。
換句話說，φ 的最佳可能近似值與最差的近似值一樣差。
有些人使用術語“難以逼近”來描述像 φ 這樣的數字。較少人使用術語“易於逼近”來描述其他連分數，但我喜歡它。我們不應該將某些數字標記為“差”，而不向它們展示如何“好”。否則它們怎麼學習？
φ（最難逼近的數字）的連分數只是由一堆 1 組成，這並非巧合。事實證明，您只需檢視連分數中的分母，即可確定數字是難以逼近還是易於逼近。一般來說，分母越大，近似值越好，分母越小，近似值越差。如果數字 q 的連分數表示的分母都受某個數字的限制，那麼 q 是難以逼近的。但如果分母變得任意大，則該數字是易於逼近的。例如，數字 e，它在我們計算投資的利息時出現，是易於逼近的。
e 的連分數展開式。不喜歡樂趣（或不必要地浪費空間）的數學家會透過僅寫出分母序列來縮寫它，因此他們會將 e 表示為 (2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10…)。這有點枯燥，但比我寫的方式更節省空間。
請注意，分母不必在每一步都增長，但確實需要存在分母的一個子集無限增長。對於 e 的情況，存在一個子序列，即 2、4、6、8 等等。
連分數還有一些其他很酷的屬性，但在某些方面仍然很神秘。整數（不是完全平方數）的平方根的連分數展開式總是重複的。請注意，這意味著平方根都是難以逼近的：如果它們重複，它們的項就不會越來越大。
但是，對於其他一些很容易描述的數字（例如 2 的立方根和 π）的連分數表示形式知之甚少。它們是難以逼近還是易於逼近？除了平方根之外，還有哪些其他類別的數字是難以逼近的？這些問題很容易提出，但實際上很難回答。我為本文使用的參考資料，Aleksandr Khinchin 的一本優秀的著作的 1964 年版，提到了許多這些未解決的問題，而 50 年後，其中大多數問題仍然沒有答案。
那麼，這一切與浪漫有什麼關係呢？嗯，正如我的潛意識所清楚地表明的那樣，完全自然地想象，您對伴侶的愛（或對您暗戀物件的迷戀）是表示您關係的連分數中的分母。夏日戀情可能是一個分母相對較小的有理數，而斷斷續續的浪漫可能是一個平方根。如果你的關係是黃金比例，那麼可能是時候結束一切了。但如果一切進展順利，那麼也許您是幸運兒之一，擁有一個易於逼近的無理數。
致我的丈夫的悄悄話：我對你的愛就像一個非常易於逼近的無理數的連分數表示形式的分母：無限增長，無需子序列。