本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
如果有人播放頻率為 440 赫茲的正弦波，您很可能會感覺到 A 音。（事實上，440 可能是最著名的音樂頻率。它是大多數現代管絃樂隊和樂器的調音標準。）然而，這個 A 音聽起來不會像管絃樂隊中任何樂器演奏的 A 音。長笛可能最接近於產生純正弦波，但即使是它的聲音也複雜得多。如果諧波分析儀以樂器或人聲的聲音作為輸入，它會將輸入分解為許多不同頻率的正弦波，通常都是一個最低頻率的整數倍。這個過程反過來也適用：透過新增各種頻率的正弦波，計算機和電子鍵盤可以建立對這些樂器聲音的像樣的模仿。但是，如果您開始稍微玩弄正弦波，您會聽到一些驚喜。頻率不是命運。例如，如果您單獨播放一個頻率為 440 赫茲的正弦波，然後在幾秒鐘後播放一個頻率為 660 赫茲的正弦波，您會聽到兩個不同的音高，一個比另一個高純五度。（純五度是七個半音，是 A 和其上方 E 之間的音程。）如果您同時播放頻率為 440 和 660 的正弦波，您不會聽到純五度。相反，您會聽到比 A440 低八度的音高。我們以對數方式感知音高，而八度音程對應於 2 : 1 的頻率比。因此，您將感知到與頻率為 220 赫茲的正弦波相同的音高。即使您知道實際上沒有任何東西在播放頻率為 220 赫茲的音高，您聽到的仍然是那個音高。頻率 440 和 660 的組合創造了一個感知的 220 音高。音高是一種感知，而不是聲波的客觀、可測量的方面，這一事實是嘗試使用數學來描述音樂的挑戰之一。
加雷思·E·羅伯茨的教科書 《從音樂到數學：探索聯絡》 在討論音高和頻率時，很好地將客觀與主觀區分開來。我的例子中，對於聽覺錯覺，有時稱為缺失基頻，有一個數學解釋：感知的音高是存在的正弦波頻率的最大公約數。[在此部落格上閱讀更多關於缺失基頻的資訊 此處 和 此處。] 然而，真正的解釋屬於認知科學，而不是數學。我們的大腦具有模式識別能力，經常需要根據不完整的資訊做出快速判斷，它會注意到 440 和 660 是樂器或人聲在產生基頻為 220 的音符時預期的頻率之一。大腦假設它只是錯過了拾取頻率為 220 的正弦波，並填補了空白，在沒有 220 的地方感知到 220。在實際層面上，電話利用了這種效應，電話不會拾取低至大多數人說話聲音的頻率，但仍然設法傳輸聽起來正常的訊息。這種效應也存在於一些管風琴中，這些管風琴沒有足夠的空間來製作足夠大的管道來發出最低的音符，而是巧妙地用精確校準的較小管道來欺騙聽眾。羅伯茨並沒有過度推銷數學作為缺失基頻的解釋，而是展示瞭如何將數學用作根據產生的音高頻譜來預測感知音高的工具。
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羅伯茨是聖十字學院的數學教授，他為一門數學與音樂的本科課程編寫了這本書。與該領域的一些教科書不同，例如大衛·J·本森的優秀但具有挑戰性的 《音樂：數學的奉獻》，閱讀本文和理解練習所需的數學知識通常非常基礎。在少數需要微積分的情況下，羅伯茨會註明，並且計算通常會得到清晰而透徹的解釋。 權衡之處在於，一些解釋是黑匣子。我們必須相信他對產生用於計算音高各個方面的有用公式的 ODE 和 PDE 解的說法。 這本書甚至適用於一些學生需要複習分數的課程。 在後面的章節中，特別是關於音樂對稱性和變奏鐘聲的第 5 章和第 6 章，羅伯茨介紹了一些抽象群論。 然而，解釋的節奏是這樣的，沒有深厚數學背景的學生應該能夠掌握它。
正如羅伯茨在他的導言中寫道，當我們假設非數學或科學專業的學生沒有能力或對學習高等數學主題不感興趣時，我們就犯了錯誤。當前高中數學課程的問題之一是數學課程通常被呈現為通往微積分的直線方式。 在那個水平的數學課上表現不佳的大多數學生，永遠沒有機會學習其他可能對他們來說更自然或更有趣的數學主題。 羅伯茨說，在他的數學和音樂課程中，那些不認為自己有數學天賦的學生挖掘出了他們在該領域隱藏的才能和興趣。 他寫道，
例如，一些學生對學習群論反應非常好。 在中學，他們在極限、代數和預備微積分中苦苦掙扎，但是完成正方形對稱性的群表，並看到它與四個鐘上的 extent [變奏鐘聲中的一個術語，指敲響所有可能的鐘的排列順序] 的聯絡，激發了對抽象代數的新興趣。
他說，甚至有些學生在學習這門課後轉為數學專業。
這本書也沒有假設學生在上課前精通樂譜。 第 2 章包含閱讀樂譜的基礎知識；在後面的章節中，理解這種樂譜很重要。 隨附的網站 1 包含一些聆聽示例和資源的連結，但如果能有更多這樣的示例來支援初學樂譜的學生，那就太好了。 沒有哪本書能滿足所有學生的需求，羅伯茨似乎為本課程的音樂和數學都建立了一個溫和的入門。 數學和音樂背景都很強的學生可能會覺得這本書太容易了，但是講師可以修改課程的節奏和涵蓋的內容，以提供適當的挑戰，或者只是決定讓這樣的學生最好透過使用不同教材的閱讀課程來獲得更好的服務。
前四章涵蓋了人們在關於音樂和數學的書籍中期望看到的標準材料。第 1 章是關於節奏，第 2 章是關於樂譜和理論的基礎知識：閱讀五線譜、命名音程和理解調號。第 3 章討論了音高感知和頻率，第 4 章是關於調音和律制。沒有一種完美的方式來組織一本關於數學和音樂的書。從嚴格的邏輯角度來看，羅伯茨的組織方式似乎是倒退的：第 2 章依賴於八度的假設，即一個頻率及其兩倍頻率之間的音高跨度，被分成十二個相等的半音，就像現代鋼琴一樣，第 3 章解釋了為什麼八度會是一個特別重要的音程，第 4 章證明了使用十二音體系的合理性，並解釋了我們是如何達到平均律的。羅伯茨選擇的組織方式具有讓學生，特別是那些有音樂背景的學生，從熟悉的領域，鋼琴開始的優勢，並且可能避免一些困惑。一個演奏過樂器或在合唱團中唱歌的人會對他們理解的樂譜感到賓至如歸，而一個沒有太多音樂經驗的人可能至少見過鋼琴鍵盤。他們甚至可以訪問真實的或虛擬的鍵盤，在那裡他們可以感受到音程和其他音樂基礎知識，因為它們在文字中被介紹。從音高和音程感知開始，然後再轉向律制，可能會產生從人們腳下抽出地毯的效果。十二個半音在一個八度音程中實際上是西方音樂中的一個公理，並且在一開始就必須證明其合理性可能會令人困惑。
接下來的四章感覺更像是案例研究的集合。 由於每個主題在很大程度上都是獨立的，因此講師將有充足的機會挑選最適合他們特定課程的部分。 第 5 章關於音樂對稱性，探討了巴赫賦格曲和更具字面對稱性的現代作曲家（如巴托克和欣德米特）的音樂。 巴赫是基本的數學和音樂課程中涵蓋的材料的規範，但特別是關於巴托克的部分，有趣地探討了巴托克對黃金分割的著名運用是否真的像有時說的那樣明確。 本章還包含對群論的溫和介紹。
第 6 章關於變奏鐘聲，更深入地探討了群論。 變奏鐘聲是一種不尋常的音樂實踐，起源於 17 世紀的英格蘭。 它發生在鐘樓裡，鐘樓裡的大鐘被安裝成可以全圓擺動。 一個人站在每個鐘下，拿著一根繩子，然後按順序敲響鐘。 經驗豐富的變奏鐘聲敲擊者學會仔細控制鐘的敲擊時間，因此鍾可以在序列中改變位置。 變奏鐘聲不是關於藝術或情感表達。 相反，旋律基本上是組合的。 敲擊者將從演奏下行音階開始，在隨後的回合中，相鄰的鐘將交換位置。 在一些規則的指導下，變奏鐘聲敲擊者建立諸如“extents”之類的變化集，這些變化集僅使用允許的變化來執行鐘的所有排列。 我輝煌的變奏鐘聲敲擊生涯在研究生院開始時持續了大約三個星期，但在那短暫的時間裡，我震驚地發現我們實際上是在執行置換群。 變奏鐘聲通常被認為是與數學有非常直接的相似之處的音樂形式，我發現羅伯茨的解釋透徹而清晰。
第 7 章是關於十二音音樂，這是另一個在數學和音樂交叉點上獲得相當多關注的主題。 羅伯茨的論述再次比許多論述更透徹和從容。 最後一章關於用數學創作的現代音樂，有三個關於以某種方式在音樂中使用數學的現代作曲家的案例研究。
在整本書中，與關於音樂和數學的其他教科書形成對比的是，羅伯茨經常使用音樂作為引入數學主題的動機，並繞道進入數學本身。 在關於節奏的章節中，他使用附點節奏作為動機，冒險進入無窮幾何級數。 頻率比導致繞道證明 √2 是無理數。 儘管我在數學、音樂及其交叉領域有很多經驗，但我自己也學到了一些東西。 我不太瞭解印度古典音樂是如何在公元十二世紀導致海馬錢德拉-斐波那契數列 1、1、2、3、5、8,... 的發現，或者彼得·馬克斯韋爾·戴維斯在他的某些音樂中使用幻方。
在導言中，羅伯茨就如何將本文用於為期一年或一個學期的數學和音樂課程提出了一些建議。 我沒有教過這樣的課程，但看起來本文似乎適合新生研討會或文科數學課程，學生在數學和音樂背景方面是多樣化的。 本文有大量的已解決示例、練習和兩個有趣的講師專案可供選擇。 最後一章的專案特別引人入勝：創作受數學影響的音樂。 我只遺憾沒有機會聽到他的學生創作的任何作品！