本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
上個月，我得知印度數學家Sharadchandra Shankar Shrikhande去世，享年102歲。這個名字聽起來很耳熟，因為不久前我瞭解了“格雷科-拉丁方陣”，這是他最著名的數學構造。
要理解Shrikhande的工作，我們必須追溯到幾個世紀前，傳奇瑞士數學家萊昂哈德·尤拉（Leonhard Euler，1707-1783），他在去世前不久寫到了這個問題。（這是他關於此論文的英文翻譯。）拉丁方陣是一個n×n陣列中n個符號的排列，使得每個符號在每行每列中出現一次。（數獨是9×9的拉丁方陣，但也滿足額外的要求。）順便提一下，儘管名稱是歐洲的，但在尤拉發現拉丁方陣之前，就已經有人研究過它們，包括韓國數學家崔錫鼎，他比尤拉早出生約70年。
一個4階拉丁方陣。每個符號在每行每列中恰好出現一次。來源：Alejandro Vera Temiño Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
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作為一點澄清，雖然尤拉的論文被稱為“關於一種新型幻方的研究”，但今天大多數數學愛好者不會稱它們為幻方。一個n×n階的幻方使用1到n2之間的每個數字恰好一次，而拉丁方陣僅使用1到n之間的數字，但每個數字使用n次。
格雷科-拉丁方陣是一個n×n陣列中兩組n個符號的排列，使得每組符號形成一個拉丁方陣，並且沒有一對符號出現兩次。這個名稱可以使其更容易想象：第一組符號可以是拉丁字母表的前n個字母，第二組可以是希臘字母表的前n個字母。每個可能的拉丁字母和一個希臘字母的組合必須在格雷科-拉丁方陣中恰好出現一次。數字n是格雷科-拉丁方陣的階數。
一個使用希臘字母和拉丁字母前五個字母的5×5格雷科-拉丁方陣。拉丁字母形成一個拉丁方陣，希臘字母也是如此，並且每個拉丁字母和一個希臘字母的組合都恰好出現一次。來源：Maksim Wikimedia
尤拉的研究使他得出結論，格雷科-拉丁方陣存在於奇數階和4的倍數階。不存在2階格雷科-拉丁方陣（您可以自己檢查），尤拉試圖構造一個6階的，但沒有成功，這使他推測不存在4n+2階的格雷科-拉丁方陣。關於不存在6階這種方陣的嚴格證明花了一些時間。（丹麥數學家托馬斯·克勞森聲稱他在1842年的一封信中證明了這一點，但該證明已遺失。 加斯頓·塔裡在1901年給出的證明是最早仍然存在的。）
研究人員開發了基於較小階方陣構造某些階格雷科-拉丁方陣的方法。例如，一個4階格雷科-拉丁方陣和一個3階格雷科-拉丁方陣可以組合形成一個12階格雷科-拉丁方陣。但他們的技術不適用於恰好有一個因子為2的階數，如2、6和10，因此他們沒有解決形式為4n+2的較大數字的問題。
最後，在1959年，Shrikhande、Raj Chandra Bose和Ernest Tilden Parker破解了這個密碼，發表了幾篇論文，完全解決了這個猜想，不僅證明了10、14、18等階的格雷科-拉丁方陣存在，而且還構造了某些維度的格雷科-拉丁方陣。他們贏得了“尤拉的破壞者”的綽號。（為了使其有效，你需要知道尤拉的發音像“oiler”，而不是“yooler”。）這篇文章頂部的圖片是一個彩色的10階格雷科-拉丁方陣的例子。
格雷科-拉丁方陣主要只是有趣，但它們在設計科學實驗中也有一些令人驚訝的實際應用。多米尼克·克萊夫和李·斯坦科斯基撰寫的一篇關於格雷科-拉丁方陣的論文指出，格雷科-拉丁方陣（以及更高階的類似方陣，在陣列中每個方框中不僅有兩個，而且有三個或更多符號）可用於設定實驗，在這些實驗中，許多不同的測試物件需要比較他們在幾個不同測試中的表現。檢視克萊夫和斯坦科斯基的文章，瞭解更多關於從尤拉到猜想“破壞”後幾十年問題歷史的資訊。要了解更多關於Shrikhande本人的資訊，請閱讀Nithyanand Rao的這篇文章，該文章是在Shrikhande 100歲生日之際撰寫的。