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在我們最近一期的《我最喜歡的定理》節目中，我的聯合主持人凱文·克努森和我很高興與Steven Strogatz交談，他是康奈爾大學的應用數學家，也是幾本暢銷數學書的作者。您可以在這裡收聽該節目，也可以訪問kpknudson.com，那裡也有文字稿。
斯特羅加茨向我們介紹了柯西積分定理，也稱為複分析中的柯西-古爾薩特定理。正如名為單位根的部落格的長期讀者可能意識到的那樣，這裡的“復”並不意味著複雜。它指的是複數，即a+bi形式的數字，其中a和b是實數，i被定義為-1的平方根。您可以將複數視為具有一些額外結構的x-y平面。就像實數一樣，我們可以對複數進行加、減、乘、除運算。我們可以定義複函式，它以複數作為輸入併產生複數作為輸出，這也使我們能夠做所有我們喜歡對實函式做的事情。
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柯西積分定理是一個與複平面中函式的行為方式相關的很好的定理，我特別喜歡聽到斯特羅加茨第一次學習該定理時的個人反應。但我認為我們在節目中談到的另一件事更有趣：複分析的偉大之處是什麼？
複分析基本上是複平面中的微積分。微積分，即連續變化的研究，是我們最喜歡對實函式做的事情之一。分析領域將微積分從單變數函式領域擴充套件到更復雜的域和多變數函式。天真地，您可能會認為，如果複平面只是一個具有一個額外規則（i2=−1）的二維平面，那麼單變數複分析在風格上會類似於雙變數實分析。
大多數數學家不這樣認為。複分析感覺純淨而完美，而實分析似乎混亂而狂野。實分析充滿了“怪異”的物件，例如魏爾斯特拉斯函式，Ben Orlin幾個月前談到過，但在複分析中，一切都執行良好。例如，如果一個函式在複分析的意義上可微一次，那麼它是無限可微的。稍微平滑一點意味著函式是無限平滑的。另一方面，實函式可以可微17次，然後在第18次中斷。沒有任何保證。
我熱愛複分析，幾乎到了崇敬的地步。但是，當我們交談時，我開始思考為什麼複分析看起來比實分析更完美。這一切都歸結於我們允許哪些函式進入門檻。像柯西積分定理這樣的定理僅適用於復解析函式，這意味著它們的導數遵循關於它們如何互動的限制性規則。實分析中的等效概念允許更多無序函式。關於復解析函式的定理適用於更窄範圍的函式。這就像將碧昂斯的伴舞與曾經在廚房裡獨自跳舞派對的每個人進行比較。編舞可以對前者做更多的事情，而不是後者。同樣，數學家可以用復解析函式證明比實解析函式更強大的定理。
我有點糾結：複分析之所以美麗，是因為它的函式幾乎奇蹟般地表現良好，還是因為它適用於如此有限的函式集而顯得膚淺？我幾乎說服自己相信後者，但後來我又回到了複分析和實分析之間差異的根源：i。複分析中強大得令人難以置信的定理都是定義數字i為-1的平方根的結果。複平面中的乘法規則自然而然地從該定義中產生，其餘的微積分也隨之而來。我想我不得不承認，這條規則的力量能夠創造一個完全不同的學科，這對我來說很美。