本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
一切都與華盛頓和那個笑臉徽章有關。圖片來源：Flickr 使用者 xJason.Rogersx CC BY 2.0
當我去歐洲時，我的口袋很快就會裝滿零錢。除了語言障礙讓我無法快速理解我欠多少錢之外，我還難以應付不熟悉的硬幣面額。支付 75 美分的最佳方式是使用一枚 50 美分的硬幣、一枚 20 美分的硬幣和一枚 5 美分的硬幣，而不是三枚 25 美分的硬幣。* 但我很難在匆忙中記住這一點。1 歐元和 2 歐元硬幣進一步讓我感到困惑，因為在 3 歐元的交易中，我會伸手去拿紙幣而不是硬幣。在回家的機場，我通常會盡量將我積攢的儘可能多的硬幣兌換成免稅巧克力，但我經常還是帶著不少硬幣叮噹作響地回到家。
在美國，我儘量避免在日常生活中使用硬幣。我很少帶錢包，而且我的錢包沒有零錢袋，所以它們只是在我的口袋裡叮噹作響。我把非 25 美分的硬幣積攢在一個重新利用的咖啡罐裡，每隔幾年我會數一下它們，然後犒勞自己一個三明治或其他東西。25 美分的硬幣會立即轉到洗衣基金中。
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在 6 月 9 日釋出到預印本網站 arXiv.org 的一篇論文中，瓦爾帕萊索大學的數學家拉拉·普德威爾和蒙特利爾魁北克大學的埃裡克·羅蘭探討了人們通常攜帶多少硬幣的問題。他們使用統計技術來確定，美國貨幣的典型攜帶者在任何給定時間最有可能攜帶 10 枚硬幣：1 枚 25 美分硬幣、1 枚 10 美分硬幣、1 枚 5 美分硬幣和 7 枚 1 美分硬幣。如果像我一樣，您把硬幣存起來而不是花掉，那麼您存錢罐中大約 31.9% 是 25 美分硬幣，17% 是 10 美分硬幣，8.5% 是 5 美分硬幣，42.6% 是 1 美分硬幣。
但是，分析中使用的假設和方法比結論本身更有趣。這是一篇非常有趣且易讀的論文，所以我鼓勵您親自檢視一下。但如果您想要簡明扼要的摘要，請繼續閱讀。
對於任何真實世界行為的數學模型，研究人員都必須決定做出哪些假設。普德威爾和羅蘭在論文開頭提出了關於硬幣日常使用的兩個合理假設
“(1) 價格的小數部分在 0 到 99 美分之間均勻分佈。
(2) 收銀員找零時使用盡可能少的硬幣。”
順便說一句，我對第一個假設感到好奇。我猜，如果人們總是每次購買一件商品，那麼他們交易的價格分佈就不會是均勻的，因為很多價格都以 .99 或 .49 結尾，而且根據您所在城市的稅收運作方式，這可能會使某些價格比其他價格更可能出現。但我認為，對於多件商品的交易，例如去雜貨店，價格的小數部分的均勻分佈是很可能的。看看某些地點的稅率和商品平均價格是否會使價格偏向某些美分金額將很有趣，但這需要外出收集大量資料，而不是建立模型並將其輸入計算機。
對於論文中的大多數示例，研究人員還假設使用美國貨幣面額（1 美分硬幣、5 美分硬幣、10 美分硬幣和 25 美分硬幣——不包括 50 美分硬幣和 1 美元硬幣），但他們的模型可以處理任何一組硬幣面額。
普德威爾和羅蘭根據硬幣處理偏好將世界分為兩類：用紙幣支付一切並將硬幣放在家裡的罐子裡的人，以及在支付時使用硬幣的人。“硬幣保管者”的情況相對容易處理。要計算出硬幣保管者儲藏中不同硬幣的比例，您只需統計出每種可能的價格會得到多少硬幣。如果價格的美分金額確實均勻分佈，這將為您提供大量交易的平均百分比。
“硬幣使用者”的情況稍微複雜一些。假設硬幣使用者的錢包裡始終存放少於 1.00 美元的硬幣，普德威爾和羅蘭指出，硬幣使用者的選擇可以建模為馬爾可夫鏈，這意味著錢包中可能存在的硬幣組合（稱為“錢包狀態”）數量有限，並且當使用者購買東西時，會發生明確的過程。對於每筆交易，新的錢包狀態僅取決於緊鄰之前的錢包狀態、在商店支付的金額以及使用者支付方式的演算法。
例如，“大手大腳者”儘可能少地多付錢，並且在有多種儘可能少地多付錢的方式時，使用盡可能少的硬幣。如果大手大腳者必須支付 27 美分，如果她無法精確找零，她會使用一枚 25 美分硬幣和一枚 5 美分硬幣而不是三枚 10 美分硬幣。儘可能少地多付錢優先於儘可能減少硬幣數量：如果她只有一枚 25 美分硬幣和三枚 10 美分硬幣，她會花掉三枚 10 美分硬幣而不是一枚 25 美分硬幣和一枚 10 美分硬幣。（在這種情況下，儘可能少地多付錢的選擇會透過減少她收到的零錢數量來獎勵她。）
這是這篇文章中需要了解一點線性代數知識的部分。如果您現在不想考慮線性代數，請跳過本段的其餘部分。普德威爾和羅蘭用於計算不同“錢包狀態”機率的方法涉及建立一個矩陣，該矩陣記錄在一筆交易期間從一種錢包狀態轉移到另一種錢包狀態的可能性。此矩陣的特定特徵向量告訴您長時間後每種錢包狀態的可能性。唯一的難點是，對於真實世界的貨幣和價格，這些矩陣非常龐大，用一個技術術語來說。在美國貨幣系統中，加起來不到 1.00 美元的硬幣組合有 6,720 種不同的組合，因此在“大手大腳者”的情況下，您最終會得到一個 6720x6720 的矩陣。僅執行建立 6720x6720 矩陣所需的計算就花費了 1 天的 CPU 時間。普德威爾和羅蘭使用數值近似法來找到特徵向量，而不是精確計算它們。
我最喜歡這篇論文的地方是普德威爾和羅蘭討論的不同示例中所蘊含的思考。他們根據人們實際花費現金的方式分析了幾種型別的硬幣花費習慣。除了上面描述的“大手大腳者”之外，他們還分析了“無美分”購買者（不要與“身無分文”混淆），他們將 1 美分硬幣留在那些“給一分/拿一分”的托盤中，而不是給出或接收它們作為零錢，以及“25 美分硬幣囤積者”。用他們的話來說，“25 美分硬幣囤積者是大學生和公寓居民使用的一種消費策略，他們把所有的 25 美分硬幣都存起來用於洗衣。他們收到的所有 25 美分硬幣都會立即投入到他們的洗衣基金中，因此 25 美分硬幣囤積者的錢包裡只有 10 美分硬幣、5 美分硬幣和 1 美分硬幣。”這就像他們在讀懂我的心思！他們還分析了用 18 美分硬幣代替 10 美分硬幣的虛構貨幣會發生什麼。他們選擇這種特殊的虛構貨幣是因為它是使平均找零硬幣數量最少的貨幣系統。對於每種變化，他們都計算出了使用該系統的人們最可能的硬幣組合。
在文章的結尾，普德威爾和羅蘭推測了他們的一些假設，並想知道它們與人們的實際行為有多大程度的匹配。他們假設人們希望儘量減少他們花費的硬幣數量，但也許最大限度地增加交易中的硬幣數量，從而最大限度地減少交易後口袋裡的重量更有意義。“當然，最大限度地減少錢包中硬幣數量的最佳方法是粗魯地將所有硬幣扔給收銀員，讓他們找零給你。但是……我們嚴格來說只對文明的消費模型感興趣。”他們提出了一些有趣的方法來修改演算法，以考慮不同的消費模式。
我決定倒出我的硬幣罐，看看我的硬幣囤積習慣與模型預測的有多麼接近。因為我是硬幣保管者和 25 美分硬幣囤積者的混合體，所以我只考慮了非 25 美分的硬幣。我有 80 枚 10 美分硬幣（佔我零錢總數的 20.3%）、27 枚 5 美分硬幣（6.8%）和 288 枚 1 美分硬幣（72.9%）。忽略“硬幣保管者”模型中的 25 美分硬幣，普德威爾和羅蘭預測 25% 的 10 美分硬幣、12.5% 的 5 美分硬幣和 62.5% 的 1 美分硬幣。所以我的數字與預測的數量相差不遠。雖然如此典型令人失望，但一個甚至不認識我的數學模型竟然很好地猜測了我硬幣儲藏中的東西，這有點酷。
您的硬幣攜帶習慣是什麼？您是上面討論的某些硬幣型別的混合體，還是您對現金交易使用不同的演算法？請在評論中分享。有關普德威爾和羅蘭認為您的錢包裡有什麼的更多詳細資訊，請檢視 arXiv 上的論文。
*此句在發表後已更改，以更正算術錯誤。