本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
同一個問題同時出現在一篇數學論文和一篇跑步部落格中，這種情況並不常見。但如果說有哪位數學家能做到這一點，那就是戴安娜·戴維斯。戴維斯是西北大學的博士後研究員，一位狂熱的跑步愛好者，也是一位富有創意的數學傳播者。2012年，她關於雙五邊形切割序列的精彩影片在“用舞蹈跳出你的博士”比賽中贏得了物理和數學類別的獎項。（我已經看過這段影片好幾次了，有時是在我自己的電腦上，有時是在菲爾茲獎章獲得者的講座上看的。）
7月，戴維斯和她的合作者基思·伯恩斯和奧裡特·戴維多維奇發表了一篇題為“平均配速和水平弦”的論文，靈感來自另外兩位跑步運動員，莫莉·哈德爾和瑪麗·凱塔尼。他們寫道：
2013年11月16日，莫莉·哈德爾跑了12公里，用時37:49，創造了該距離的世界紀錄。人們為這一成績鼓掌，但有些人指出，瑪麗·凱塔尼的半程馬拉松世界紀錄為65:50，距離為21.1公里，實際上比哈德爾的紀錄更快：凱塔尼的平均配速為每公里3:07，而哈德爾的平均配速為每公里3:09。因此，凱塔尼一定跑完了比賽中某個12公里的路段，速度比哈德爾更快——對嗎？
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我敢打賭，我不只是唯一一個會欣然引用介值定理並認為這就完事了的數學家。（順便說一句，這種反應也是數學家如此專注於嚴謹證明的部分原因。直覺很棒，但它必須有嚴密的論證作為後盾。）介值定理是微積分中的一個強有力的事實，它指出，如果一個函式是連續的（它不會突然跳躍），那麼它必須取最大值和最小值之間的所有可能值。
一個例子很有幫助：簡單的拋物線，由函式 y=x2 建模，在 x=0 時的 y 值為 0，在 x=3 時的 y 值為 9。這意味著在 0 到 3 之間的某個位置，y 必須取值 1、2、3、π 以及 0 到 9 之間的任何其他數字。介值定理有一些令人驚訝的含義。例如，在任何給定的時間，地球上都有兩個正好相對的點，它們的溫度完全相同！
12公里問題感覺就像一個介值問題。我記得在微積分第一學期做過看起來很像這樣的問題：如果我正好用一個小時跑完 4 英里（我沒有哈德爾和凱塔尼那麼快），那麼一定有一英里我正好用了 15 分鐘。我們怎麼知道？把距離分成一英里一段。如果每段都用了 15 分鐘，我們就完成了。如果不是，那麼其中一段一定低於 15:00，另一段一定高於 15:00。介值定理說，在某一段英里中，也許是從 1.5 英里到 2.5 英里，正好用了 15 分鐘。
因此，如果凱塔尼以每公里 3:07 的平均配速跑完比賽（12 公里用時 37:24），那麼她一定跑完了某個 12 公里的路段，用時正好是 37:24。令人有些震驚的是，答案是否定的。戴維斯和她的合作者一開始就用一個例子駁斥了這個問題：
假設凱塔尼在前 9.1 公里和後 9.1 公里分別跑了 27:00，中間 2.9 公里跑了 11:50。那麼她的比賽總時間仍然是 2×27:00+11:50=65:50，但她每個 12 公里子區間的用時都是 27:00+11:50=38:50，比哈德爾的紀錄慢得多。
介值定理哪裡出錯了？在我使用的例子中，距離，4 英里，正好是我感興趣的長度的 4 倍。這種關係不適用於 12 公里和半程馬拉松。在 21.1 公里處，半程馬拉松不是 12 公里的整數倍。如果我們不能將距離分成都是 12 公里的段，我使用的論證就會失效。我很難相信沒有辦法挽救這個論證，但戴維斯等人的例子表明我不能。
戴維斯說，他們的論文可能是首次將一個名為通用弦定理的陳述應用於跑步。通用弦定理已經以不同的形式研究了大約 200 年，它處理的是 f(0)=f(1)=0 的函式，並研究這些函式的水平弦的長度。（水平弦只是連線圖上一個點到另一個高度相同的點的線段。）* 在 30 年代，海因茨·霍普夫弄清楚瞭如何構造一個具有給定水平弦長度集合的函式，前提是該集合滿足一些標準。
伯恩斯、戴維斯和戴維多維奇擴充套件了之前的工作，簡化了定理的證明，並設計了一個更簡單的配方來構造具有所需弦長的漂亮、光滑的函式。（有關所有詳細資訊，請檢視他們的論文。）用跑步術語來說，他們解釋了跑步者何時必須以正好等於其平均配速的速度跑完一英里（或其他感興趣的長度），並提出了在可能的情況下避免平均配速的比賽計劃。實際跑步比賽則留給讀者作為練習。
*這句話在出版後進行了修改，以糾正一個錯誤。我最初寫的是水平弦連線圖上的一個點到下一個相同高度的點，但它可以連線到任何相同高度的點。感謝戴安娜·戴維斯指出這個錯誤。