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上學期，我開始了我的數學史課程，內容涉及一些巴比倫算術。我們做的數學題很簡單——數字的乘法和加法運算，透過配方法解二次方程——但是六十進位制和缺少真正的零使得這些基本運算對我的學生來說具有挑戰性。我很高興不同的系統讓他們感到有點震驚，並讓他們開始思考我們認為理所當然的事情，但一些學生似乎得出的結論是，巴比倫數學是笨拙而愚蠢的。全班花了很多時間思考兩個系統之間的差異，但沒有花太多時間從巴比倫系統本身的層面進行思考。作為孩子，我們花了幾年時間學習如何進行算術運算；僅僅根據幾天的使用經驗來判斷一個不熟悉的數字系統是不公平的。
來源：普林斯頓大學出版社
大衛·雷默的著作《像埃及人一樣計數》由普林斯頓大學出版社於 2014 年出版，周到地避免了這種缺陷。埃及數字系統與我們自己的系統有一些深刻的差異，它不是作為一種副業或旅遊景點來展示的。除了解釋數字的寫法和基本算術運算的執行方式外，雷默還分析了在我們看來不尋常的運算背後的邏輯。他將學習埃及數學比作學習一門新語言。“西班牙語是愚蠢的，”他在與一位不規則動詞發生衝突後告訴一位初中西班牙語老師。不規則動詞會使一種語言對外行來說顯得武斷。但當然，英語也有其相當多的語言特性。母語人士只是在被指出之前才不會注意到它們。雷默寫道：
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埃及數學有一種陌生的感覺。大多數數學史學家稱之為原始或笨拙。更糟糕的是，許多人只是忽略它，除了順便提及一下。他們看到這個系統，感到不舒服，因為它太不一樣了。他們感覺到明顯的“缺陷”並繼續前進。他們不理解埃及數學，僅僅是因為他們做得不夠，無法真正欣賞它。對於一個掌握了埃及數學的人來說，它很美妙。它鄙視死記硬背和死板的演算法，同時讚賞洞察力和創造力。每個問題都是一個謎題，可以透過多種方式解決。通常，解決方案會令人驚訝，這在現代計算這種按部就班的苦差事中永遠不會發生。
考慮分數。如果您稍微閱讀一些關於埃及數學的資料，您首先了解到的事情之一是，除了 2/3 和偶爾的 3/4 之外，埃及人只使用分子為 1 的分數：1/2、1/3、1/4 等等。他們會將其他分數寫成單位分數之和。例如，7/24 可以寫成 1/4+1/24 或 1/6+1/8。（埃及人實際上並沒有用分子和分母來書寫他們的分數；如果你的分子只有一個，那麼每次都寫下來是多餘的。相反，埃及分數將由一個“嘴”形符號放在一個整數符號的上方組成。所以 1/7 將是一個嘴放在 7 的上方。要寫兩個分數之和，他們只需將第二個分數寫在第一個分數之後。）
當我第一次讀到關於埃及分數的資料時，我將其斥為笨拙而低效。但雷默指出，它們與我們的十進位制系統並沒有那麼不同。當我們寫數字 0.572 時，我們只是以稍微不同的方式寫 5/10+7/100+2/1000。這些分母遵循可預測的模式，不像埃及分數那樣，但我們仍然將數字寫成具有遞增分母的分數之和。我們的十進位制系統的一個優點是，如果我們在小數點後幾位截斷數字，我們就可以很好地瞭解它有多大。數字 0.572 非常接近 0.5 和 0.57。同樣，在埃及分數系統中，7/24 非常接近 1/4，這是書寫 7/24 的一種可能方式中的第一項。
埃及分數也比十進位制分數有一些優勢。首先，它們總是會終止。我們甚至無法將 1/3 寫成有限小數。在我們分母中嚴格堅持 10 的冪限制了我們可以輕鬆表示的數字。像我們的分數一樣，埃及分數是精確的，但僅使用有限數量的項。雷默將埃及分數視為我們分數和十進位制系統最佳品質之間的折衷方案。它們與我們的分數一樣精確，但像我們的十進位制分數一樣，它們也使近似變得容易。
但是埃及分數可能會丟擲一些難題。不一定只有一種方法可以將數字寫成埃及分數。例如，上面我寫了 7/24=1/4+1/24 或 1/6+1/8。在這種情況下，很明顯 1/4+1/24 是更好的寫法：1/4 是一個很好的近似值，而 1/6 則不是。但在其他情況下，則不太清楚。在書中，雷默給出了 4/15 的例子，它可以寫成 1/6+1/10 或 1/5+1/15。1/5 比 1/6 更好近似，但可能有其他原因選擇 1/6+1/10。埃及人在乘法時經常使用加倍，並且加倍偶數分母的分數比奇數分母的分數更容易。因此，根據具體情況，1/6+1/10 可能是計算的更好選擇。這就是雷默所說的，當他說這個系統“鄙視死記硬背和死板的演算法，同時讚賞洞察力和創造力”時。在如何表示數字方面有如此大的自由度似乎很奇怪，但這表明即使在簡單的算術中，創造力也可以有一席之地。
憑藉這樣的見解，雷默不僅解釋了埃及系統的邏輯，還鼓勵我們思考我們自己的數學技術的“是什麼”、“如何”和“為什麼”。雷默寫道：“這本書是對現代數學的一種隱晦的批評。”最後一章《審判日》是埃及方法和現代方法之間的“戰鬥”，但這不僅僅是關於勝者和敗者。“我們將考慮哪個系統更好，以及‘更好’到底意味著什麼。”正如您可能猜到的那樣，這很複雜。
雷默在書中穿插了關於埃及神話和社會的短文，他還收錄了一些關於少數倖存下來的埃及數學文物的一些歷史資訊。（紙莎草通常無法儲存 3000 年。）他還明確指出，他的數學評論何時有埃及紙莎草的證據支援，以及何時是他自己基於數學直覺的推測。因為我從數學史教師的角度對這本書感興趣，所以我確實希望能夠更多地瞭解究竟哪些數學內容在哪些紙莎草中，但這本書不是埃及數學的學術歷史，這些資訊可能會分散人們嘗試親自體驗埃及數學的任務。
《像埃及人一樣計數》將成為許多不同級別數學課堂的絕佳補充。雷默在書中包含了問題，並在書的背面提供了答案，因此讀者可以練習技巧，並在閱讀本書的過程中感受系統的工作原理。數學基礎知識足以幫助首次學習分數或乘法的兒童，但它與我們大多數人知道的方法也足夠不同，成年人也會從中受益匪淺。我在本學期數學史課程的第一天使用了埃及乘法和分數，以此來讓學生走出舒適區，並讓他們以新的方式思考數學最基本的構建模組。憑藉更多關於系統背後原理的背景知識，我認為這是以一些關於數字應該為我們做什麼的有趣討論來開啟課程的有效方式。