打結的針頭織出編織結

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

讓開，無限圍巾，你們根本不是無限的。(5,3) 環面紐結頸圈才是潮流。

對我來說，一月份聯合數學會議的亮點之一是數學纖維藝術環節。您可以在此處檢視我從該環節整理的幻燈片。在會議期間，聯合組織者莎拉-瑪麗·貝爾卡斯特羅作了關於她美麗的針織環面紐結和鏈環的演講。我在幻燈片中加入了一張它們照片，但想在這裡的部落格上分享更多關於它們的細節。

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在數學中，紐結基本上就是現實世界中的紐結。你取一段繩子，以某種方式打結，然後將自由端連線在一起，使其沒有起點或終點。（我在去年的部落格文章中寫過關於紐結的文章，如果您想更深入地瞭解它們。）鏈環是任意數量的紐結放在一起。它們可能只是彼此相鄰，或者它們可能以某種有趣的方式纏繞在一起。

環面紐結和鏈環，貝爾卡斯特羅演講的主題，可以透過將繩子纏繞在環面或甜甜圈上製成。您可以將環面視為當您沿著另一個圓掃過一個圓時獲得的形狀，如下圖所示。

我們可以將紅色圓圈和粉紅色圓圈，即穿過孔或圍繞孔纏繞的圓圈，分別視為環面上的兩個主要“方向”，類似於球體上的緯度和經度。

環面紐結或鏈環由它在兩個主要方向上纏繞多少次來定義。一個 (p,q) 環面鏈環* 穿過中心（沿著紅色圓圈）纏繞 p 次，圍繞孔（沿著粉紅色圓圈）纏繞 q 次。如果我們對 p 或 q 使用負數而不是正數，則描述是相同的，但紐結或鏈環在環面上以不同的方向螺旋纏繞。有關環面紐結的更多圖示，請檢視紐結圖譜。

任何兩個整數 p 和 q 都可以定義一個環面鏈環。如果這些數字沒有公因數，則鏈環只有一個部分，因此我們稱之為紐結。如果它們確實有公因數，則鏈環有多個部分，例如這個 (4,2) 環面鏈環。（部分的數量與 p 和 q 共享的最大公因數相同。）

貝爾卡斯特羅既是數學家又是編織者，她已經擅長結合這兩個學科。她使用數學來理解和指導她的編織，並使用編織來視覺化複雜的數學物件。幾年前，貝爾卡斯特羅開始編織環面，使用對比鮮明的紗線在上面展示環面紐結。

當她繼續使用編織來探索數學時，她考慮過去掉環面，只編織紐結本身。當然，一種方法是編織一個細長的矩形，將其打結，然後將兩端縫合在一起。但這太容易了！相反，貝爾卡斯特羅想知道她是否可以進行編織，使紐結本質上是由編織建立的，而不是事後新增的。有一天，她將她的環形編織針（這些基本上是兩個端點，中間用一根長而柔韌的線連線）打成一個結，最終得到了一個針織的三葉結。

三葉結是除圓圈外最簡單的紐結，它也是一個 (3,2) 環面紐結。在成功編織三葉結後，貝爾卡斯特羅想知道她還可以建立哪些其他環面紐結和鏈環，並最終發現了一種遞迴演算法，用於正確地纏繞針頭以編織一些環面紐結。（具體來說，她的程式適用於 (nk+1, k) 環面紐結和 ((n+2)k-1,k) 環面紐結，適用於任何整數 n 和 k。）

為了建立具有多個部分的環面鏈環，貝爾卡斯特羅首先使用她的演算法編織鏈環中的一個紐結，然後將其用作鏈環的下一個元件的基礎，她也使用她的纏繞演算法建立該元件。她不斷這樣做，直到她擁有所需的元件數量。因為她將針頭纏繞在之前的元件周圍以編織每個後續的紐結，所以成品具有所有內建的紐結性和鏈環性；無需在事後連線末端。

貝爾卡斯特羅說，在編織完環面鏈環後，專案看起來一團糟。但她已經學會相信，當她從針頭上取下它並小心地將其展平時，她將最終得到一個漂亮、正確執行的環面鏈環。她通常僅出於其數學特性而製作紐結，但最近她發現，透過一些小的調整，她的 (5,3) 環面紐結可以製作成一個漂亮的頸圈。可穿戴的數學，勝出！

*環面紐結可以先標記任一方向。維基百科採用“圍繞孔”先出現的慣例，但貝爾卡斯特羅採用“穿過孔”先出現的慣例。這篇文章的原始版本在不同的地方使用了這兩種慣例。我已經更新了這篇文章以保持一致，使用貝爾卡斯特羅使用的慣例。如果您最終瀏覽到維基百科頁面，請記住它的環面紐結是使用相反的慣例標記的。