本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
當我瞥見一位新的數學朋友正在修改的論文標題時，“因子進位制”這個詞跳入了我的眼簾。多麼棒的一個詞！我不知道它是什麼意思。
我的新朋友用一個例子向我展示：數字 2019 是 2(6!)+4(5!)+4(4!)+2!+1。更正式地說，它是 2(6!)+4(5!)+4(4!)+0(3!)+1(2!)+1(1!)+0(0!)。（最後一項有點傻，但我們稍後會用到它。）哇，這有很多的數字和標點符號！感嘆號當然是階乘符號，而不是對數字的興奮表達。對於正整數 n，n! 是從 1 到 n 的整數的乘積。
要以因子進位制（或者如某些人所稱的階乘數系統）書寫一個數字，你需要將其表達為階乘的倍數之和，規則是對於 n! 項，你不能使用大於 n 的係數。也就是說，你不允許將數字 6 寫成 3(2!)。你必須將其寫成 1(3!) 或只是 3!。
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這種限制類似於我們在以二進位制或十進位制書寫數字時所具有的限制，即我們只使用小於基數的數字。二進位制使用數字 0 和 1。十進位制使用 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9。這種限制是有充分理由的。有了它，每個正整數都有一個唯一的因子進製表示，就像它在二進位制或十進位制中都有唯一的表示一樣。
如果一個數字以十進位制以外的進制書寫，通常以下標表示進位制。因此，數字 2123 表示以三進製表示的數字 212，即 2(32)+1(3)+2=2310。（我對這種表示法有異議——將十進位制數字作為下標來表示不同的進製表明你對你的產品沒有信心——但我的讀者有權知道人們是如何書寫這個的。）同樣，下標 ! 表示一個數字是以因子進制書寫的。因此，201910=2440110!。
證明在因子進位制系統中，給定正整數只有一種表示方法是很有趣的。但是一旦你完成了這一點，一個大問題仍然存在：為什麼？因子進製做了什麼你用二進位制、十進位制、六十進位制或你可以選擇的任何其他無數進位制都無法獲得的事情？
我的第一個猜測是，因子進位制在書寫更大的數字時會更有效率。我注意到，與二進位制或十進位制系統不同，在二進位制或十進位制系統中，位值系統中每個新位置與前一個位置具有恆定的乘法關係，而在因子進制中，每個新位置都比它之前的位置大得多。（這句話很複雜，但我保留了它，因為我喜歡短語“更大”的合理使用。）換句話說，每個位置值之間的比率不是恆定的，就像通常的進位制一樣。它在增長。
最右邊的位置是個位，左邊的下一個位置大兩倍，再左邊的位置比兩位大三倍，以此類推。這意味著當我們開始檢視更大的數字時，因子進位制會變得更有效率。數字 201910 用因子進制書寫比用十進位制書寫需要更長的時間，但是如果你想書寫比 20! 大得多的數字，因子進位制將開始使用更少的數字。（如何書寫這些額外的數字留給讀者作為練習。）
但是數字效率並不是因子進位制存在的真正原因。據我所知，沒有人會因為可以使用 34 個因子進位制數字來書寫 40 個十進位制數字而鬆一口氣。因子進位制的一個應用是用一個紙牌戲給你的朋友留下深刻的印象。請閱讀湯姆·埃德加在《數學視野》中關於此事的文章。但是因子進位制對於描述排列也很有用。
n 個事物的排列是對它們的排序方式。你也可以把它看作是一個有 n 個不同字母的單詞。n 個事物有 n! 個排列，並且因子進位制提供了一種相當簡單的方法，可以將 0 到 n−1 之間的每個數字與 n 個物件的一個排列相關聯。
現在我們可以使用數字 201910 的因子進製表示形式 2440110!，找出我們應該將數字 0 到 6 的哪個排列與它相關聯。
讓我們想象一下，我們將數字 0 到 6 排成一個有序的行，{0,1,2,3,4,5,6}。2440110 的第一個數字是 2，這告訴我們，我們想要數 “0-1-2” 並選擇對應的數字 2 作為我們的第一個數字。我們從行中取出 2，剩下 {0,1,3,4,5,6}。2440110 中的第一個 4 告訴我們數 0-1-2-3-4 並取對應的數字。因為我們已經刪除了 2，所以我們得到 5。現在，我們對下一個 4 重複相同的操作，將 6 新增到我們的排列中。現在我們有 {0,1,3,4}。數字 0 對應於 0，我們有 {1,3,4}。然後，1 告訴我們數 0-1 並拉出 3，下一個 1 給出我們 4，最後剩下的最後一個數字是 1。最後，數字 2019 給我們排列 2,5,6,0,3,4,1。
如果用文字很難理解，我建議檢視維基百科頁面上精美的解釋圖，然後自己嘗試一下。從 0 而不是 1 開始計數有點障礙，但這確實是一個明智的選擇。（我嘗試從 1 開始，這讓事情變得更加複雜，因為它很難處理數字 0。）
因子進位制的這種用途稱為Lehmer 程式碼。這是一種思考問題的方式，這個 Numberphile 影片描述瞭如何在音樂節上選擇廁所。帶著這個美好的想法，我將讓你享受你的新因子進位制玩具！