本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
我以前工作過的猶他大學位於鹽湖城東側的山麓。它比該市的大部分地區海拔都要高，所以當然要到那裡就必須升高海拔。作為一名騎腳踏車通勤者，我希望以儘可能最輕鬆的方式升高海拔。最終，我確實找到了一條我認為對我的腿最輕鬆的路線，但說實話，它並沒有比大多數其他路線輕鬆多少。要從市中心到大學，你必須以某種方式升高大約500英尺。
我的導師過去常常用“難度守恆”這個短語。如果我放棄一種解決問題的方法，因為它遇到了看似無法逾越的困難，那麼一種新的方法很可能會給我帶來同等但不同的困難。數學家有時會找到真正的捷徑或取得真正的突破，使一切都變得更容易，但更多時候，他們會從各個方面消除困難，直到有所進展。
我和凱文·努德森與吉姆·普羅普討論了我們播客《我最喜歡的定理》的最新一集（音訊和文字稿在此），我們的對話讓我想起了難度守恆的想法，儘管在這種情況下難度這個詞不太恰當。
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普羅普博士談到了一個似乎太過明顯以至於幾乎不能稱之為定理的定理：如果一個函式不變，它就是一個常數。幹得好，福爾摩斯！但是，他隨後剝開了這個陳述的一些層次，表明一個名為實數完備性的公理是證明這個定理的基礎，我們稱之為常數值定理。
完備性公理指出，數軸上沒有缺口。形式化這個想法的一種方法是以下陳述：實數的每個非空子集，如果有一個上界，那麼它就有一個最小上界。例如，小於2的平方根的有理數集合有很多上界：17、500、π，這個列表實際上是不可數的。但是√2是最小的那個。
作為一條公理，實數的完備性被認為是正確的，不需要證明，至少當你在標準實數線上進行數學運算時是這樣的。（數學家喜歡弄清楚當公理被刪除或替換時會發生什麼，所以並非所有的數學都將完備性公理視為理所當然。）但它不必如此。我們可以假設常數值定理，並將完備性公理推導為定理。我們可以完全假設其他一些屬性，並推匯出常數值定理和完備性公理。
我們可以用其他公理做類似的事情：透過假設一個不同的定理作為公理來使公理成為定理。當我寫關於平行公設的想法時，我把它想象成一張床單上頑固的皺紋。如果你把它在一個地方撫平，它就會在其他地方冒出來。存在著一種守恆，不完全是難度，而是必須假設而不是證明的公理的某種核心。
普羅普博士寫了一篇名為“反向實分析”的文章，更深入地探討了這個想法，研究了一些等價於完備性公理的定理，以及一些看起來相似但並不等價的定理。想象使用其中任何一個作為公理的優點和缺點很有趣，但這篇文章還深入探討了這些等價性和非等價性告訴我們關於實數本身的什麼。他寫道，“本文的主題是，任何不是實數系統的東西都必須在許多方面與實數系統不同。” 探究這些差異的確切含義可以幫助我們理解我們選擇進行大量數學運算的特殊領域。欲瞭解更多詳細資訊，請檢視我們的播客節目，普羅普博士在他可愛的部落格《數學魔法》上發表的配套文章，或他的文章。