本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
如果你不知道該做什麼，那就做點什麼。這是我教數學時（或許也是良好的人生建議）的座右銘之一。去年，我教了入門分析（基本上是保留了精華部分的微積分），這是學生們上的第一批以證明為導向的課程之一。撰寫證明很難，有時最難的部分是開始。在你寫下假設之後，接下來該怎麼辦？我的學生應該做些什麼？
如果他們沒有更好的主意，有時最好的開始方式是反證法。反證法是數學中主要的證明技巧之一。為了證明“A 蘊含 B”這個陳述，反證法假設 A 和“非 B”都為真，然後證明這是不可能的。
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例如，你如何證明存在無限多個素數？一種常用的起始方法（通常歸功於歐幾里得）是假設你有一個包含所有素數的有限列表，然後進行推導直到得到矛盾。具體來說，你將列表中的所有素數相乘，加 1，並證明結果數不能被列表中的任何素數整除。這意味著你的列表不完整，所以一定有無限多個素數。
另一個常用的反證法例子是康托爾的對角論證，它表明實數集比自然數集“更大”。觀看 Vi Hart 的關於無窮大不同大小的影片，以獲得關於對角論證的良好解釋。
有趣的是，素數無限性的證明和對角論證都不是真正的反證法。（對於歐幾里得證明是反證法的廣泛神話的有趣分析，請參閱令人失望的付費文章 素數的簡潔性，作者是邁克爾·哈迪和凱瑟琳·伍德戈爾德。）對於素數的情況，該證明在任何舊的有限素數列表上都完全有效。你不需要假設列表是完整的才能進行論證。同樣，在對角論證的情況下，證明表明從自然數到實數的任何函式都無法覆蓋所有實數。我們不必首先假設存在一個可以覆蓋所有實數的函式。這種差異是微妙的，並且在你的腦海中思考起來很有趣。
如果我事先不知道如何證明存在無限多個素數，或者自然數的基數小於實數的基數，我會首先嚐試反證法。即使反證法對於這兩種論證都不是必要的，但我仍然很難看出如何在不從反證法開始的情況下找到這些證明。
我經常鼓勵我的學生，如果他們在證明中遇到困難，就嘗試反證法。我認為這有助於激發思路。為什麼呢？我不太確定，但也許它給了我們一些具體的東西可以抓住。當我們第一次接觸一個新的數學概念時，它可能看起來非常抽象。但是透過嘗試反證法，我們在某種意義上找到了一個有形的“反派”來對抗。當然，反證法並不總是能幫助我們找到證明，但最好是做點什麼，寫下一些想法並逐漸理清它們，直到你觸及論證的核心，而不是坐在那裡無所事事，因為你不知道從哪裡開始。