本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
“因此，這篇論文字身只有二十四頁——思想史上最非凡的二十四頁！”“鮑耶·亞諾什和羅巴切夫斯基則截然不同，他們立刻毫不猶豫地聲稱，他們的發現標誌著人類思想史上的一個劃時代時刻，其意義之重大，以至於哲學史或科學史中記載的任何事物都無法超越，這證明了純粹理性至高無上，這在以前從未被證明過，正值它推翻了似乎永遠是其最可靠的財產——幾何學的公理。”
——喬治·布魯斯·哈爾斯特德，論亞諾什·鮑耶關於非歐幾何的論文，《絕對空間科學》。
上週，我為本科生做了一個關於雙曲幾何的講座，雙曲幾何是我在數學中最喜歡的課題之一。 在 Twitter 上，我開玩笑說要進行一場關於幾何學的雙曲式演講，而不是關於雙曲幾何的演講。
關於雙曲幾何的演講不同於關於幾何學的雙曲式談論：“天哪，幾何學太酷了，它將治癒癌症！”— 伊芙琳·蘭姆 (@evelynjlamb) 2014年2月5日
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但我的玩笑並非牽強附會。 在為我的演講做準備時，我遇到了一些早期雙曲幾何史中的雙曲妙語。 最早的兩個，在本帖子的頂部，來自對亞諾什·鮑耶關於非歐幾何的論文的冗長而華麗的譯者介紹。 我在羅伯託·博諾拉的教科書《非歐幾何》中找到了它，該書可在此處免費獲取 here。 鮑耶和尼古拉·羅巴切夫斯基（是的，那個 尼古拉·羅巴切夫斯基）是最早發表非歐幾何著作的兩位數學家。
首先，關於非歐幾何和雙曲幾何的一些基礎知識。 歐幾里得的《幾何原本》，歷史上最持久的教科書之一，是對幾何學的首次系統性處理。 歐幾里得從 23 個定義、5 個公理和 5 個公設開始，並從中推匯出各種定理。 第五個公設，也稱為平行公設，與其他定義和公設感覺非常不同。 陳述它的方法之一是，如果您有一條直線 L 和一個不在 L 上的點 P，則恰好存在一條穿過點 P 且平行於（不與 L 相交）L 的直線。
其他公設和公理，例如“任意兩點都可以用直線段連線”之類的陳述，似乎更加不言而喻。 平行公設一直讓一些數學家感到不安，他們認為一定有一種方法可以從其他公理和公設中推匯出它。 在 2000 年裡，他們嘗試了。 非歐幾何的故事是數學家們發現，你可以發明與歐幾里得幾何學的其餘部分一致，但不遵循平行公設的幾何學的故事。 有兩種違反平行公設的方法：要麼不存在穿過 P 且不與 L 相交的直線，要麼存在多條穿過 P 且不與 L 相交的直線。 前一種情況稱為橢圓幾何，後一種情況稱為雙曲幾何。 非歐幾何是這兩種情況的統稱。
鮑耶的父親法爾卡什（有時被稱為沃爾夫岡）也是一位數學家。 事實上，他曾試圖證明平行公設，並寫信給他的兒子，
“令人難以置信的是，這種頑固的黑暗、這種永恆的日蝕、幾何學中的這個缺陷、真理上的這片永恆的烏雲竟然可以被容忍。”
但法爾卡什不希望他的兒子走上他走過的同一條路。
“你一定不要嘗試這種平行線的方法。 我知道這條路的盡頭。 我已經走過了這片無底的黑夜，它熄滅了我生命中所有的光明和喜悅。 我懇求你，拋開平行線的科學吧……我曾想為真理犧牲自己。 我準備成為一名殉道者，從幾何學中去除缺陷，並將其淨化後歸還給人類。 我完成了巨大的、巨大的勞動； 我的創造比別人的要好得多，但我還沒有獲得完全的滿足。 因為這裡確實如此 si paullum a summo discessit, vergit ad imum [如果哪怕只是稍微偏離了最高點，也會跌入谷底]。 當我看到沒有人能夠到達這片黑夜的底部時，我退縮了。 我不甘心地退縮了，可憐我自己和全人類。”“我承認我對你的線的偏差期望不高。 在我看來，我曾經去過這些地區； 我已經駛過了這片地獄般的死海的所有暗礁，總是帶著斷桅和破帆回來。 我的性格的毀滅和我的墮落可以追溯到這個時候。 我輕率地拿我的生命和幸福冒險——aut Caesar aut nihil [要麼凱撒，要麼一無所有]。”
“看在上帝的份上，我懇求你，放棄它吧。 不要害怕它，就像害怕感官的激情一樣，因為它也可能會佔據你所有的時間，並剝奪你的健康、心境平和和生活中的幸福。”
幸運的是，亞諾什沒有聽從他父親的勸告
“我決心儘快整理好、完成並在機會出現時發表關於平行線的著作。 我還沒有做出發現，但我所遵循的道路幾乎肯定會引導我達到我的目標，前提是這個目標是可能的。 我還沒有得到它，但我發現了一些非常了不起的東西，以至於我感到震驚。 如果這些東西丟失了，那將是永遠的遺憾，當我親愛的父親你看到它們時，你一定會承認這一點。 我現在只能說，我憑空創造了一個新的不同的世界。 我至今寄給你的所有東西都像一座紙牌屋，與一座高塔相比簡直不值一提。”
隨著亞諾什的成功在望，法爾卡什改變了他的論調，並敦促他發表。 正如亞諾什回憶說
“他建議我，如果我真的成功了，我應該迅速公開宣佈，原因有二。 一個原因是這個想法很容易傳給其他人，然後由他們發表。 另一個原因——也是一個似乎足夠充分的理由——是，當某些事物的時機成熟時，這些事物會以紫羅蘭在早春時節出現的方式出現在不同的地方。 而且，由於科學的奮鬥就像一場戰爭，人們不知道它何時會被和平所取代，因此如果可能的話，就必須獲勝； 因為在這裡，卓越歸於第一個人。”
我在赫伯特·梅什科夫斯基的教科書《非歐幾何》中找到了博利亞父子之間的大部分往來，該書以這段有點誇張的段落開頭
“非歐幾何的發現者有點像聖經中的掃羅王。 掃羅在尋找一些驢子，卻發現了一個王國。 數學家們只是想在老歐幾里得身上挑個毛病，並表明他認為不能從其他公設中推匯出來的一個公設實際上是可以推匯出來的。 在這方面，他們失敗了。 但他們發現了一個新的世界，一種幾何學，在這種幾何學中，有無數條直線平行於給定的直線並穿過給定的點； 在這種幾何學中，三角形的內角和小於兩個直角； 然而，它仍然沒有矛盾。”
這些引言對於幾何學來說似乎都有些戲劇化，但不瞭解非歐幾何的發現是多麼具有革命性是很容易的。 哈爾斯特德將鮑耶的論文描述為“思想史上最非凡的二十四頁”，這當然聽起來很誇張，但你能找到其他 24 頁可以與之媲美的嗎？ 這不是一個反問。 我很好奇還有什麼可以入圍。 我一時想不起來，但我太喜歡雙曲幾何了，以至於不能指望我對它保持客觀！