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朋友們，請戴好你們的帽子，因為我發現了一個秘密的數學節日，用來紀念本月的最後一天。今年的2月28日恰好是西方基督教曆法中四旬齋開始的前一天，也是數學家皮埃爾·法圖 (1878-1929) 誕辰139週年。由於數學史、天文學、教會日曆和英語的這種吉祥匯合，今年的聖灰星期三前日就是法圖日！假設梵蒂岡和其他教會權威機構不改變復活節及相關節日的計算方式，這種巧合在本世紀2100年之前只會再發生一次：在2090年。（它也發生在2006年，但我那時還沒開始寫部落格，所以你們怎麼會知道呢？）你們肯定想好好慶祝一下。
數學家皮埃爾·法圖的肖像。圖片來源：Collection familial Wikimedia
我相信我第一次接觸法圖是在分析學（可以理解為：高階微積分）課上，當時我學到了法圖引理。這個有用的微積分結果屬於我稱之為交換律陳述的範疇。（交換律是關於你是否可以以不同的順序做事情並得到相同的答案。在數學中，就像生活中一樣，人們不能總是互換操作並期望得到好的結果。問問任何一個睡眼惺忪地試圖在換掉睡衣穿上真正的褲子之前穿鞋子的人。如果生活是可交換的，那就能行得通！）法圖引理是關於極限的積分與積分的極限之間的關係。具體來說，它指出，如果滿足正確的條件，那麼函式序列的下極限的積分小於或等於函式序列的積分的下極限。（要獲得更嚴格的定義，請檢視維基百科或Math3ma。）
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法圖還因其對復動力學的貢獻而聞名。基本上，他試圖弄清楚如果你將一個複數代入一個函式，然後將輸出代入同一個函式，不斷重複會發生什麼。幾年前我在一篇關於分形小貓的文章和上個月一篇關於曼德勃羅集的文章中更詳細地介紹了這個想法。基本上，有時點會保持在離起點相對較近的位置，有時它們會瘋狂地螺旋到複平面的遠處。有沒有辦法弄清楚哪些點會做什麼？對復動力學的研究最終導致了法圖集和朱利亞集的定義。（朱利亞集是以法國數學家加斯頓·朱利亞的名字命名的，他與法圖在同一時期研究復動力學，儘管他們是獨立工作的。）多項式的朱利亞集由在其附近具有混沌行為的點組成。也就是說，它們附近的一些點在迭代下會滾落到無窮遠，而另一些點則會保持接近。法圖集是朱利亞集的補集：所有被表現得像它們一樣的鄰居包圍的點。它們要麼都飄走，要麼都待在家裡。
朱利亞集和法圖集通常是美麗的分形，正如你在精美的線上書籍朱利亞集和曼德勃羅集圖片集中所看到的那樣。此外，它們還提供了一種最明顯的將法圖日與聖灰星期三前日聯絡起來的方式：分形煎餅。內森·希爾茲的Saipancakes是#煎餅目標，他在本文頂部提供了一些靈感。如果你沒有他的煎餅技巧，別擔心。並非所有的朱利亞集和法圖集都像曼德勃羅集那樣上鏡。在家複製一個類似於多項式 f(z)=(z+z2)/2 的法圖集元件的煎餅可能會更容易。
這個圖形的內部，函式 f(z)=(z+z2)/2 的朱利亞集，可以製作成美味的法圖日煎餅。圖片來源：Wabeki Wikimedia (GFDL 1.2) (CC BY-SA 3.0)
米歇爾·奧丁的書籍《法圖、朱利亞、蒙泰爾：1918年數學科學大獎及其他》解釋了法圖和朱利亞在復動力學方面工作的來龍去脈，將其置於背景之中，並解決了優先權問題。它還包含一個關於法圖的傳記章節，其中提到他是一位音樂愛好者，並且至少根據家族傳說，他養了一隻鸚鵡。如果你想在法圖日深入瞭解法圖，我強烈推薦這本書。
對於那些想要朝聖的人來說，法圖的出生地和去世地都在法國的布列塔尼：分別是洛里昂和波爾尼謝。他曾在巴黎高等師範學院學習，並在巴黎天文臺工作了一生。他曾在蒙帕納斯大道172號居住多年，就在天文臺的拐角處。那裡沒有他的紀念牌匾，但我根據經驗知道，可以參觀這個地址，並在你試圖在現在的牙科診所前拍出最好的自拍時，讓人們用奇怪的眼神看著你。
法圖 曾在此處。圖片來源：Evelyn Lamb
遺憾的是，在巴黎近100條以數學家命名的街道中，沒有法圖街，但在莫城（巴黎東北約25英里處的一個城鎮）有一條法圖街。莫城市政當局尚未回覆我的電子郵件（無疑是用糟糕的法語寫的），詢問街道名稱的由來，所以我不知道它是否是為了紀念這位數學家而命名的。
所以，為了一個完美的法圖日， 積分一個函式序列，畫一些分形，並吃數學煎餅吧！