如何快速填滿一個圓？

本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點

邁克爾·博舍尼茨安，我研究生母校萊斯大學的數學教授，上週去世了。我上過他的一門課，但他對我的生活產生了更大的影響，因為他是我的配偶喬恩·蔡卡的導師。他們有著很棒的師生關係，我知道喬恩特別欣賞邁克爾對有趣數學問題的敏銳眼光和對數學無限的熱情。（對我來說，把我的丈夫稱為蔡卡而不是喬恩感覺很奇怪。但在一篇文章中，只稱呼一個人為名字，而稱呼另一個人為姓氏，或者兩人都稱呼名字，也感覺很奇怪。在沒有其他不奇怪的選擇的情況下，我將稱呼他們為邁克爾和喬恩。）

聽到這個悲傷的訊息後，我發現自己在瀏覽 他在 arXiv 上的論文，並決定點選“單位圓中最密集的序列”，這是他和喬恩十年前合著的。這篇論文只有兩頁長，而且有點意思。

他們論文的標題指的是單位圓，通常定義為半徑為 1 的圓，但他們實際使用的單位圓是周長為 1 的圓（因此半徑為 1/π）。這種區別其實並不重要——他們可以根據需要將事物乘以 π，以將其工作轉移到標準的單位圓——但這一事實可以幫助我們理解他們工作的部分方式。（通常當數學家提到一個圓時，我們指的是一個空心圓，而不是一個填充的圓，我們稱之為圓盤。不幸的是，我們經常在這個用法上很草率，說諸如“圓的面積是 πr²”之類的話。圓的面積是 0，因為圓是一維的，而不是二維的。圓的長度是 2πr，而圓盤的面積是 πr²。）

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思考圓的一種方式是將其視為兩端粘合在一起的區間，在這種情況下，區間長度為 1。在此區間上進行算術運算涉及思考所涉及數字的“小數部分”。實數的小數部分是當您切掉小數點左側的所有內容時得到的內容。 1.5 的小數部分是 0.5，π 的小數部分是 .14159…，5 的小數部分是 0。（正如 π 的例子所示，一個數的小數部分不一定是分數。）在論文中，邁克爾和喬恩用 x (mod 1) 表示一個數 x 的小數部分。

處理數字的小數部分可以很容易地看到數軸和圓之間的關係，並理解論文的重要部分：透過對實數軸進行算術運算來回答有關圓上點的問題。僅處理小數部分，我們可以將數軸視為一堆被切碎並堆疊在一起的區間，或者更好的是，將數軸視為無限次地圍繞圓纏繞。

邁克爾和喬恩正在尋找用無限的點序列填充圓的最密集的方式。唯一的問題是如何測量一維線上零維點的集合的密度並不明顯。事實上，論文的部分工作是找出衡量他們所追求的屬性的合理方法。

數軸內集合的傳統密度定義是，如果每個小區間都包含集合中的點，則該集合是密集的。有理數是密集的，因為任何區間，無論其長度多小，都包含至少一個有理數。這種密度的概念是二元的：一個集合要麼是密集的，要麼不是。圓中的許多、許多數字序列（視為實數的小數部分）在這種意義上是密集的。例如，透過將相同的無理數反覆加到前一項上（並取答案的小數部分）得到的序列在圓中是密集的。最終，序列的某些項將擊中圓中的任何小區間。另一方面，反覆新增有理數不是密集的，因為最終你會重複相同的數字。例如，序列 0、1/2、1/2、3/4、0、1/4、1/2、3/4……只擊中相同的四個數字。

許多序列在這種意義上是密集的，但是否有一種方法可以量化一個序列填充圓的速度和有效性？這些是邁克爾和喬恩關注的概念。他們提出了兩種衡量標準和一個在一定程度上最佳化這兩者的序列。

第一個衡量標準在論文中標記為 D_n，它衡量的是圓的任何點與序列前 n 項中最近的點之間的最遠距離。一個例子有所幫助：讓我們選擇一個簡單的序列，其中第 n 項是數字 n/3 (mod 1)。從 0 開始，這個序列是 0、1/3、2/3、0、1/3、2/3 等，只是沿著圓以 1/3 的長度邁步。在 n=3 之後，密度 D_n 穩定下來。點 1/6、1/2 和 5/6 都位於序列的兩個點之間的一半，並且它們與最近的點之間的距離為 1/6。圓上的任何其他點都更接近序列點。因此，對於任何大於或等於 3 的 n，D_n 為 1/6。計算比 0、1/3、2/3 更復雜的序列的 D_n 當然會更具挑戰性，但主要思想是，此衡量標準跟蹤序列在第 n 步對每個 n 未能擊中單位區間中每個點的糟糕程度。

他們使用的另一個度量稱為 d_n（如果你大聲讀這篇文章，我建議大聲喊 D_n 並低聲說 d_n，以幫助你在腦海中理清它們），它跟蹤序列中最近的點彼此之間的距離有多近。在 0、1/3、2/3 的情況下，最近的點彼此之間的距離為 1/3，因此該序列的 d_n 為 1/3。這個概念最好被認為是散佈而不是密度：具有較大的 d_n 值的序列是每個新項都與前項相距很遠的序列。

論文的目標是找到一個在 D_n 和 d_n 方面都表現良好的序列。這意味著 D_n 的值很小——序列正在接近圓中的所有點——並且 d_n 的值很大——序列的每個新項都與所有前項相距很遠。

邁克爾和喬恩找到的獲勝序列實際上並不難理解。它是 log₂(2k−1) (mod 1)，其中 k=1、2、3 等等。函式 log₂(x) 是 x 的以 2 為底的對數，是必須將 2 提升到的冪才能得到 x；例如，2³=8，所以 log₂(8)=3。插入一些數字，你可以看到論文中的序列是奇數整數的以 2 為底的對數的小數部分的序列。這很拗口，但開始在 線上計算器上插入數字來感受序列的開始並不難。對於較小的 k 值，k 的以 2 為底的對數的小數部分會移動很多。對於較大的 k 值，序列項最終會靠得很近。（嘗試為 k 插入一些 5 位或 6 位數字，看看序列從一項到下一項移動的程度有多小。）

在他們的論文中，邁克爾和喬恩證明了奇數的以 2 為底的對數的序列在接近圓中的所有點以及將序列點之間的最小距離保持在儘可能大的範圍內都做得很好。特別是，他們表明，競爭序列有時可能會擊敗他們的序列，但他們的序列將無限次地獲勝。事實上，隨著 n 的增加，他們的序列在所有競爭對手中變得越來越佔優勢。

這不是一篇驚天動地的論文，但我決定深入研究它，因為它對我來說是小而易懂的，不像他的一些更深層次的作品。這也符合我對邁克爾作為數學家的看法，當然，我的看法是從遠處得出的；我從未和他一起工作過。他喜歡提出和回答那些完全自然但以前沒有人想過要問的問題。雖然在這篇博文中建立起來需要一些努力，但這個問題基本前提對於上過入門分析課的數學研究生來說可能很簡單。邁克爾還喜歡巧妙、有效的論證。在這篇論文中定義了基本術語之後，兩個定理的證明只需要半頁左右，不需要大量的數學機制，更多的是關於序列和區間的敏銳觀察。數學不必是驚天動地的，也值得思考，我很高興花了一些時間思考這個問題。