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《如何避免錯誤》，這是威斯康星大學麥迪遜分校數學教授喬丹·艾倫伯格的第一本面向大眾的數學書籍，剛剛上架。除了數學博士學位外，艾倫伯格還擁有創意寫作藝術碩士學位，並且多年來一直為大眾撰寫數學方面的文章。毫不奇怪，這本書詼諧幽默、引人入勝，而且讀起來非常有趣。
《如何避免錯誤》不是一本關於斐波那契數列或 π 的大眾數學書籍。它更深入。在導言中，艾倫伯格將數學事實分為四個象限：它們可以是簡單而膚淺的，簡單而深刻的，複雜而膚淺的，或者複雜而深刻的。這本書主要探討“簡單而深刻”的象限。
艾倫伯格在談到這個象限中的思想時寫道：“它們不是‘僅僅的事實’，例如簡單的算術陳述——它們是原則，其應用範圍遠遠超出了你通常認為的數學範疇。它們是工具帶上隨時可用的工具，如果使用得當，它們將幫助你避免錯誤。”
本書在五個部分中探討了這些工具：線性、推斷、期望、迴歸和存在。每個部分都包含關於特定數學技術的章節，這些技術屬於該部分更大的範疇。
“存在”是我最喜歡的部分，它探討了數學在獲得“正確”答案方面的侷限性。這是我最近一直在思考的事情。我們數學家有時將自己視為隱居的祭司，他們發現並保護原始的普遍真理，但數學的決定性特徵之一是我們必須首先制定規則。我們不是發現普遍真理，而是在我們建立的公理化設定中發現真理。有時，這些設定看起來非常明顯是正確的，以至於我們將這些真理視為普遍真理。我想到的是我們的數字系統。事實上，計數和算術在幫助我們理解世界和開發新技術方面非常成功。很難想象沒有數字和算術規則的數學。
但是歐幾里得幾何呢？兩千年來，它一直被視為進行幾何學的唯一方法，客觀幾何真理的唯一來源。數學家們一生都在試圖證明，為了使其他公設成立，平行公設必須為真。我們的直覺和經驗告訴我們，它必須以這種方式工作，但這僅在一種幾何公理系統中才是正確的。“真理”我們在那裡發現的“真理”僅限於該系統。歐幾里得幾何非常有用，但是有數世紀的水手和天文學家會告訴你，球面幾何也有其自身的真理。歐幾里得幾何不會使球面幾何失效，反之亦然。
在題為“不存在公眾輿論”的章節中，艾倫伯格談到了法國大革命時期的政治哲學家尼古拉·德·孔多塞，他想開發更好的選舉決策方法。在有三名以上候選人的競選中，“簡單多數制”系統可能會導致問題（想想羅斯·佩羅或拉爾夫·納德）。孔多塞想找到一種公平的投票方法，該方法應滿足以下投票“公理”：“如果大多數選民更喜歡候選人 A 而不是候選人 B，那麼候選人 B 就不能成為人民的選擇。” 這是合乎邏輯、公平且不可能的。很容易想出石頭剪刀布偏好的例子：大多數人更喜歡候選人 A 而不是候選人 B，候選人 B 而不是候選人 C，候選人 C 而不是候選人 A。根據孔多塞的公理，沒有候選人可以獲勝。無政府狀態統治。
進入數學形式主義。形式主義將問題從獲得正確答案轉變為獲得遵循規則的答案。艾倫伯格寫道，
“G.H. 哈代在欽佩地說到 19 世紀的數學家終於開始詢問諸如1-1+1-1+…
應該定義為什麼，而不是它們是什麼……時，他所談論的就是這個。”
“哈代肯定會認為孔多塞的痛苦是最不必要的困惑。他會建議孔多塞不要問誰是真正最好的候選人，甚至不要問公眾真正打算讓誰上任，而是我們應該定義哪個候選人是公眾的選擇。”
我以前從未從這些角度考慮過，但艾倫伯格解釋說，選舉、審判甚至棒球都可以透過數學形式主義來理解。在某些方面，這似乎像作弊。找到正確答案太難了，所以我們制定新規則，並將“正確”定義為“遵循我們的規則”。但在最後一章“如何正確”中，艾倫伯格強調，這關乎理解我們可以回答哪些問題以及我們方法的侷限性，以便我們可以明智地採取行動。當事情變得複雜時，我們不會只是束手無策。我們會分析它，並儘可能多地權衡各種選擇。他寫道，
“人們通常認為數學是確定性和絕對真理的領域。在某些方面，這是正確的。我們處理必然的事實：2+3=5 以及所有這些。”“但數學也是一種我們可以推理不確定性的手段，即使不能完全馴服它，也能馴服它……數學為我們提供了一種有原則的不確定方式：不是僅僅舉手說‘嗯’，而是做出堅定的斷言：‘我不確定，這就是我不確定的原因，這大致是我不確定的程度。’甚至更多：‘我不確定，你也應該不確定。’”
艾倫伯格將數學描述為“透過其他方式擴充套件常識”，是從託尼·斯塔克變成鋼鐵俠的一種方式。《如何避免錯誤》可以幫助您探索您的數學超能力。