2018年8月23日

霍莉·克里格最喜歡的定理

這位劍橋數學家闡述了布勞威爾不動點定理的有趣之處

A woman with long red hair wearing a black t-shirt stands in front of posters showing the Mandelbrot set. — 劍橋大學數學家霍莉·克里格在一些曼德勃羅集圖片前擺姿勢

霍莉·克里格

本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點

在我們播客“我最喜歡的定理”的這一集中，我的聯合主持人凱文·努森和我很高興邀請到霍莉·克里格來到節目。她是劍橋大學的一位數學家，並且多次出現在數學YouTube頻道Numberphile上。您可以在這裡收聽本集節目，或訪問kpknudson.com，那裡也有文字稿。

克里格博士選擇了布勞威爾不動點定理作為她最喜歡的定理，這意味著這是本節目第一次出現重複的定理！當我們與弗朗西斯·蘇交談時，他也選擇了布勞威爾不動點定理，那集節目在六月播出。我們的一些嘉賓表達了對重複定理的擔憂，但凱文和我實際上正在期待著它在某個時候發生。那裡有一些好定理值得我們喜愛，我們希望有機會與不同的嘉賓以不同的方式看待同一個定理。在錄製本集節目時，蘇博士的那集節目尚未播出，我們決定在錄製結束後才告訴克里格博士這個訊息。感謝克裡格博士在我們告訴您後表現出的風度，也感謝布勞威爾不動點定理如此優秀，我們的嘉賓兩次選擇了它！

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自從我們與蘇博士交談以來，布勞威爾不動點定理沒有太大變化，所以我將再次分享我在他那集節目的節目筆記中的描述

這個定理指出，給定一個斑點（更準確地說，是在平面或高維空間中沒有孔的連通區域，但“斑點”效果很好），如果你觀察一個從斑點到自身的函式，總會有一個點不動。我們所說的“從斑點到自身的函式”的一個例子就是在杯子裡攪拌或旋轉茶。杯子裡的每個點都會移動到杯子裡的其他地方，所以我們可以透過說點 x 移動到點 y，點 y 移動到點 z 等等來寫下發生的事情。布勞威爾不動點定理說，如果你真的攪拌杯子裡的茶，那麼至少會有一個茶分子最終會回到它開始的地方。有關該定理的更多資訊，您可以從蘇博士解釋它的頁面或Tai-Danae Bradley為PBS無限系列頻道製作的關於它的影片開始。

克里格博士提出了一些關於不動點定理的引人入勝的歷史趣聞。L. E. J. 布勞威爾，該定理以他的名字命名，創立了數學中的一種運動，稱為直覺主義。廣義而言，這種哲學認為數學必須被構建為有效。對於一個直覺主義者來說，我告訴你我的證明表明必須存在某個具有特定屬性的數字是不夠的；他們希望我產生這個數字本身。這種哲學限制了在證明中被認為是合法的論證型別。這在一定程度上是對格奧爾格·康托爾的數學的反響，他高度抽象的方法當時在數學界引起了轟動。具有諷刺意味的是，布勞威爾對他不動點定理的證明不是建設性的。該定理可以告訴你特定對映的不動點存在，但它無法幫助你找到它。

在每集播客中，我們都會要求我們的嘉賓將他們的定理與食物、飲料、藝術、音樂或其他生活樂趣配對。克里格博士選擇了曼哈頓雞尾酒。您需要收聽節目才能瞭解為什麼它是布勞威爾不動點定理的完美搭配。（如果您想讓數學家為您調製曼哈頓雞尾酒，我建議您詢問克里格博士或其他動力學家，正如我在這篇關於數學家和家務的文章中所解釋的那樣。）

您可以在她的網站和推特上找到霍莉·克里格。我特別喜歡她關於曼德勃羅集和填充的朱利亞集的Numberphile影片。您可以在kpknudson.com和這裡的統一的根找到有關此播客中數學家和定理的更多資訊以及其他令人愉悅的數學樂趣。這裡提供了文字稿。您可以在iTunes和其他播客分發系統上訂閱和評論該播客。我們很樂意收到聽眾的來信，所以請透過myfavoritetheorem@gmail.com給我們留言。凱文·努森在推特上的使用者名稱是@niveknosdunk，而我的使用者名稱是@evelynjlamb。該節目本身也有一個推特賬號：@myfavethm和一個Facebook頁面。下次加入我們，瞭解另一個引人入勝的數學知識。

之前在“我最喜歡的定理”中