本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點。
我最近一直在閱讀關於希爾伯特問題的資料。這是德國數學家大衛·希爾伯特在1900年巴黎國際數學家大會上提出的23個問題。（更準確地說，希爾伯特在大會的演講中提出了其中10個問題。完整的列表後來才釋出。數學家們並沒有區分親自提出的10個問題和其餘的問題。）
希爾伯特是二十世紀之交的數學巨匠之一，他對數學中最誘人的未解決問題的評估影響了此後數學研究的程序。
我開始研究希爾伯特問題，是因為我正在進行的一個專案涉及千禧年難題。這是克雷數學研究所在2000年提出的七個問題列表，作為新千年開始時數學中最重要的七個未解決問題。我曾將千禧年難題視為希爾伯特問題列表的一種更新，但我不太熟悉他的問題，所以我想了解更多。
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每個千禧年難題都附帶 100 萬美元的獎金。解決其中任何一個，您都可能成為百萬富翁。（或者，像迄今為止唯一解決其中一個問題的人一樣，您可以拒絕獎金並完全離開研究領域。*）可能正是因為每個問題都附帶豐厚的獎金，克雷研究所制定了關於如何決定和頒發獎項的詳細指南，以及由該領域專家撰寫的每個問題的官方描述。每個問題的狀態都定義明確。（龐加萊猜想已解決，其他六個尚未解決。）
與千禧年難題相比，希爾伯特的問題列表看起來有點像一個學生忘記了截止日期，在最後一刻匆忙拼湊起來的學期論文。有些問題太容易了：第三個問題實際上在希爾伯特提出之前就已經被解決了，儘管當時解決方案尚未發表；實際上發表瞭解決方案的馬克斯·德恩在希爾伯特提出問題後很快就解決了它。有些問題是不適定的：第四個問題有時被描述為“太模糊而無法解決”，而第 23 個問題只是“變分法方法的進一步發展”。將問題分類為“已解決”和“未解決”列表有點混亂。第十個問題（pdf）顯然已得到解決。第八個問題，其中包括黎曼猜想，顯然仍然是開放的。但是，例如，關於第二個問題應該在多大程度上被認為是已解決的，數學家們有不同的看法。在我為這篇文章進行的研究中，我查閱了幾本書籍和網站，所有這些書籍和網站對於哪些問題已解決，哪些問題仍未解決都有略微不同的觀點。我不禁想到，在最寬容的解釋中，業餘的希爾伯特問題為流暢、專業的千禧年難題鋪平了道路。（因此有了這篇文章的標題。）
但也許這種描述對希爾伯特是不公平的。為什麼數學中未解決的問題列表就應該是整潔的呢？畢竟，這些問題是未解決的，這意味著我們不知道它們是否會得到解決，或者如何解決，或者它們的解決方案是否會向我們表明我們一開始就問錯了問題。希爾伯特本人寫道：“事先正確判斷一個問題的價值是困難的，而且常常是不可能的；因為最終的獎勵取決於科學從問題中獲得的收益。” 從另一個角度來看，與希爾伯特更具生命力、更龐雜的列表相比，千禧年難題更像是企業化和經過修飾的。
金錢也使事情變得複雜。當有一個豐厚的獎金來獎勵達到某個明確的終點時，像“變分法的進一步發展”這樣的開放式問題是不合理的，但是自 1900 年以來，變分法確實得到了很大的發展，部分原因在於希爾伯特的挑戰。
在我不再將希爾伯特的問題列表視為草率和模糊之後，我開始欣賞這些問題——儘管或者正是因為它們有點混亂——在 20 世紀的數學中促進了幾個富有成果的研究方向。有時，最重要的部分是它們啟發數學家們首先弄清楚什麼是“正確”的問題。哪些公理、數字或形狀集合以及量詞的組合會引出最有趣的問題？即使是已解決的問題，例如第十個問題，也開闢了繼續吸引數學家的研究領域。
沒有什麼表明千禧年難題沒有產生同樣的效果。其中只有一個問題得到解決，但其他問題的部分結果仍在不斷湧現。這組規模較小、重點更集中的問題是否會像希爾伯特的問題一樣激發如此多的創新？現在還無法知道。
在任何人類的努力中，需要是發明之母。在數學中，問題往往是這種需要的來源。希爾伯特也這樣說過：
某些問題對於數學科學的整體進步的深刻意義，以及它們在個體研究人員的工作中所起的重要作用，是不可否認的。只要一個科學分支提供大量的問題，它就是活著的；缺乏問題預示著滅絕或獨立發展的停止。正如每個人類事業都追求某些目標一樣，數學研究也需要它的問題。正是透過解決問題，研究人員才能檢驗[他們]鋼鐵的韌性；[他們找到]新的方法和新的視角，並[獲得]更廣闊和更自由的視野。
*格里戈裡·佩雷爾曼，他證明了龐加萊猜想，拒絕了克雷研究所的獎金和菲爾茲獎。這筆錢被用來設立龐加萊教席，該教席資助在巴黎亨利·龐加萊研究所為有前途的研究人員提供 6 個月和 12 個月的訪問職位。我的配偶幾年前獲得了其中一個職位，所以我的評估應該被認為是非常有偏見的，但資助幾個短期職位似乎比給一個人一大筆錢更能鼓勵數學研究。