有人連續拋擲硬幣 76 次都是正面嗎？

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湯姆·斯托帕德的荒誕劇《羅森克蘭茨和吉爾登斯吞死了》以他們中的一位，吉爾登斯吞（還是羅森克蘭茨？）拋擲硬幣開場。“正面，”羅森克蘭茨說，並拿起硬幣。吉爾登斯吞再次拋擲。“正面，”羅森克蘭茨說，並拿起硬幣。又一次拋擲。“正面。”再次，“正面。”很快我們發現吉爾登斯吞已經拋擲了 76 次硬幣，而且全部都是正面。“一個意志薄弱的人，”他評論道，“如果說在其他方面沒有，至少在機率法則方面，可能會被觸動去重新審視他的信仰。”

我拋擲了數十億年的硬幣才得到這張照片。圖片來源：伊芙琳·蘭姆。

當他們繼續拋擲硬幣，而羅森克蘭茨的錢包繼續增長時，吉爾登斯吞得出結論，對於這種極不可能連續出現正面的情況，有幾種可能的解釋

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“第一：我願意這樣。在我內心深處，在沒有任何顯現的地方，我是一個旋轉雙面都是正面的硬幣的人的本質，並且為了對一個被遺忘的過去進行私下贖罪而與自己打賭……

“第二：時間已經停止，並且一枚硬幣旋轉一次的單一體驗已經被重複了九十次……

“第三：神聖的干預，也就是說，來自上天的關於他的恩惠，參見以色列的子民；或者來自上天的關於我的報應，參見羅得的妻子……

“第四：對每個單獨旋轉的硬幣正面朝上的可能性與反面朝上的可能性相同，因此每次正面朝上都不應該感到驚訝這一原則的壯觀證明。”

當我觀看這個場景時（在我的大學對該劇的精彩製作期間），我想知道機率是多少。世界上是否有人可能連續拋擲硬幣 76 次都是正面？我對大數字沒有很好的直覺，所以我真的不知道它應該走向哪個方向。一方面，任何一次連續拋擲 76 次硬幣都是正面的可能性極低。另一方面，70 億人是一個很大的數字。他們都在拋擲硬幣嗎？可能不是，但有些人是。如果我拋擲硬幣 76 次，我總共可以得到 2⁷⁶ 種不同的正面和反面組合，其中只有一種是全部正面。Wolfram Alpha 告訴我 2⁷⁶ 大約是 7.5×10²²，因此連續得到 76 次正面的機率約為 1.3×10^-23，這比 70 億分之一更接近 0。即使世界上每個人都至少拋擲了硬幣 76 次，幾乎也不可能有人最近的 76 次拋擲都是正面。

那麼，是世界上任何人可能見過的最長連續正面是多少？假設他們拋擲的是正面和反面朝上的機會各佔 50/50 的公平硬幣？這個問題沒有明確的答案。我們必須對拋擲硬幣的人做出一些假設，並對如何定義問題做出一些選擇。

我們可以問，最大的數字 n 是多少，使得某人有可能在他的最後 n 次拋擲硬幣中拋擲出 n 次正面。換句話說，目前正在進行的最長連續正面是多少？這個問題相當簡單：在 n 次拋擲中連續得到 n 次正面的機率是 1/2ⁿ。我們需要確定世界上有多少人經常拋擲硬幣。我對其他文化中的拋擲硬幣不太瞭解，但我猜想，習慣性拋擲硬幣的人不會超過十億。十億可能是一個高估，但這是一個很好的整數，所以我選擇它。我們想找出哪個 n 使 2ⁿ 大約等於 10 億，結果證明 30 非常接近。如果有十億人至少拋擲了硬幣 30 次，那麼如果其中一人在過去的 30 次拋擲中拋擲出 30 次正面，也就不足為奇了。

另一方面，也許我們想問的是，任何人見過的最長連續正面是多少。因此，我們不是問最近 30 次拋擲是否都是正面，而是問任何拋擲過比如說 100 次硬幣的人，是否曾經見過連續 30 次正面。這更有可能：在您的 100 次拋擲中在某個地方連續得到 30 次正面的可能性約為三千萬分之一。如果世界上至少有三千萬人拋擲過硬幣 100 次，那麼如果其中一人在某個時候連續拋擲出 30 次正面，也不應該感到驚訝。如果我們假設有十億人至少拋擲過硬幣 100 次，我們可以看到，其中一人在某個地方連續35 次正面也就不足為奇了。連續 76 次（或 90 次，羅森克蘭茨最終的連續次數）正面不太可能。如果您拋擲硬幣 500 次，則只有 3.5×10²⁰ 分之一的機會連續得到 76 次正面。這比最近 76 次拋擲都是正面的可能性高一千倍，但仍然令人難以置信。

一個相關的問題是，羅森克蘭茨和吉爾登斯吞需要拋擲多少次硬幣才能期望在他們的拋擲中某個時候得到連續 90 次正面。與硬幣的總拋擲次數相比，您應該期望的最長連續次數 (pdf) 的長度增長非常緩慢。在拋擲 100 次硬幣的情況下，最長連續正面的近似期望長度為 6。對於拋擲 1000 次，最長連續正面的期望長度僅增加到 9。我稍微玩了一下數字，發現如果您拋擲硬幣 2,000,000,000,000,000,000,000,000,000，或 2×10²⁷ 次，您應該期望您的最長連續正面約為 90。也許《羅森克蘭茨和吉爾登斯吞死了》只是兩個男人以每秒一次的速度拋擲硬幣，持續時間比宇宙存在的時間長數十億倍的史詩故事中的一個快照。

在計算了數字之後，我確信世界上沒有人曾經在公平的硬幣上連續拋擲出 76 次或 90 次正面，就像羅森克蘭茨和吉爾登斯吞在劇中做的那樣。但我想這就是戲劇的魔力。當然，斯托帕德從未給我們羅森克蘭茨取得如此驚人成功的理由。然而，他和吉爾登斯吞確實利用他們違反邏輯的運氣與“演員”，一個巡迴劇團的領隊贏了一些賭注。在演員怒氣衝衝地離開後，羅森克蘭茨看著他最後拋擲的硬幣說，“我說——那真是幸運……是反面。”

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