本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
如果你今天感覺有點沮喪，也許一個快樂數會讓你振作起來。要看一個整數是否快樂，首先將它的各位數字平方（以十進位制為基礎，儘管在其他進制中也類似地定義了快樂數），然後將它們加在一起。所以數字 23 會變成 13，因為 22+32=4+9=13。現在迭代這個過程。對於 13，我們得到 1+9=10。然後 10 變成 1，它會一直保持不變。如果一個數字最終變成 1，它就被稱為快樂數。如果不是，它將最終陷入一個無盡的迴圈，達到 4，然後是 16、37、58、89、145、42、20，然後又是 4。
不幸的是，“快樂”這個綽號的原因已經消失在歷史的長河中。但我當然能理解為什麼一個被困在 4 – 16 – 37 – 58 – 89 – 145 – 42 – 20 – 4 迴圈中的數字可能會不快樂。
僅僅為了有趣而弄清楚數字是否快樂已經足夠令人愉快了，但我今天寫關於快樂數是因為我瞭解到它們有一個奇怪的屬性：沒有辦法準確指出有多少個快樂數。
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乍一看，這句話是錯誤的。有無限多個快樂數。至少，所有 10 的冪都是快樂數。但是，如果我們不是要求計算快樂數的數量，而是詢問整數中快樂數的比例是多少，故事就會變得更有趣。數學家使用術語漸近密度來表示這個概念。
即使我還沒有定義漸近密度，你可能也不會覺得很難相信偶數的漸近密度是 1/2：當我們沿著數軸越走越遠時，我們會發現我們看到的正整數中大約有一半是偶數。它可能略有偏差——畢竟，從 1 到 5 的整數中只有 40% 是偶數——但我們看到的數字越多，我們的估計值與 50% 的偏差就越小。
另一方面，整數中 10 的冪的漸近密度為 0，因為它們之間的距離不斷增大。1 到 10 之間有兩個 10 的冪，佔這些數字的 20%，1 到 100 之間有 3 個（3%），1 到 1000 之間只有 4 個（0.4%），依此類推。雖然 10 的冪會永遠出現，但它們會變得越來越稀疏。
嚴格來說，如果當 n 變得任意大時，從 1 到 n 的整數中屬於該集合的比例接近 p，則整數集合的漸近密度為 p。
許多數字集合都有定義的漸近密度，但並非所有集合都有。沒有定義密度的集合往往會呈現盛宴或饑荒的趨勢。例如，考慮第一個數字為 1 的整數。如果我們看一下一位數，正好有 1/9 的數字以 1 開頭。然後我們會遇到一大串以 1 開頭的數字。如果我們看一下它們在 1 到 19 之間的比例，我們會跳到 11/19。然後看看從 1 到 99 的數字，我們會一直下降到 11/99，即 1/9。
如果我們嘗試為這個集合找到漸近密度，我們會發現，如果我們剛好在以 1 開頭的大段數字之後計算密度——100、1000 等——以 1 開頭的數字的比例將接近 5/9。但是，如果我們剛好在達到 100 或 1000 等重大里程碑之前結束計數，它們的比例將為 1/9。從漸近密度的角度來看，沒有辦法彌合 1/9 和 5/9 之間的差距。以 1 開頭的整數集合沒有密度。（有趣的是，在這種情況下，沒有密度與密度為 0 是不同的。說該集合的漸近密度未定義可能更明確，但那樣還有什麼樂趣呢？）
順便說一句，1/9 稱為該數字集合的下密度，5/9 稱為上密度。粗略地說，下密度是當你沿著數軸前進時，你可以使集合變得多麼稀疏的極限，而上密度是你如何使它變得密集的極限。如果上密度和下密度匹配，則集合具有定義的漸近密度。（密度的其他概念會為那些沒有漸近密度的集合產生定義的密度值，但我們今天不擔心這些。）
1 到 10 之間有 3 個快樂數，1 到 100 之間有 20 個，1 到 1000 之間有 143 個，1 到 10,000 之間有 1442 個。（線上整數序列百科全書專門用一個序列來計算 1 到 10n 之間的快樂數。）看起來快樂數的密度可能在 14% 左右。但令我有點驚訝的是，快樂的漸近密度並不存在。賈斯汀·吉爾默寫了一篇論文表明，快樂數的下密度低於 12%，上密度高於 18%。（令人高興的是，他的論點涉及“b-快樂函式”。）下密度和上密度之間的差距不像以 1 開頭的數字那麼大，但足以破壞密度。
快樂數沒有定義的漸近密度這一事實意味著數軸的某些部分比其他部分集中了更多的快樂。我不確定這是否讓我感到快樂。
在我告訴他關於快樂數及其不可定義的密度後，我的配偶喬恩·柴卡將這個想法應用於當地的中學生數學小組。你可以在這裡找到工作表的 pdf 檔案和教師指南。