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週一，巴黎高等師範學院的哈拉爾德·赫爾夫戈特在預印本知識庫 arxiv 上釋出了數論中最古老的未解決問題之一的證明。三元哥德巴赫猜想，就像數論中的許多問題一樣，很容易陳述但很難證明。每個大於 5 的奇數都可以寫成三個素數之和。（素數除了自身和數字 1 之外沒有其他因數。）例如，7=2+2+3 和 91=7+41+43。
三元哥德巴赫猜想有時被稱為弱哥德巴赫猜想。強哥德巴赫猜想指出，每個大於 2 的偶數都可以寫成兩個素數之和。這兩個猜想都是在 1742 年克里斯蒂安·哥德巴赫和萊昂哈德·尤拉的通訊中提出的，因此得名。從邏輯上講，如果你證明了強哥德巴赫猜想，你就會免費得到弱哥德巴赫猜想：如果你有一個大於 5 的奇數，從中減去 3。現在你得到一個大於 2 的偶數。因此，如果你知道每個大於 2 的偶數都是兩個素數之和，你可以加上 3（一個素數）得到你的奇數，分解為三個素數之和。
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遺憾的是，反過來不行。如果你有一個寫成 3 個素數之和的奇數，並減去其中一個奇素數，你就會得到一個寫成兩個素數之和的偶數，但不能保證所有偶數都會以這種方式出現。但是三元哥德巴赫猜想確實確定每個偶數都可以寫成最多 4 個素數之和：只需從你想分解的偶數中減去任何奇素數（例如，3，或 257885161-1 ），你就會得到另一個奇數，我們現在知道它可以寫成三個素數之和。這改進了奧利維爾·拉馬雷 1995 年的定理，即每個偶數都是最多 6 個素數之和。
赫爾夫戈特的結果意義重大，但它並非憑空而來。他的工作是使用一種稱為哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法技術的長篇論文的一部分。（很吸引人，是吧？）圓法的非常一般的思想是，我們將關於一組數字（在本例中為素數）的問題轉化為關於圓上積分的問題，使用最初來自複平面分析的技術。令人驚訝的是，甚至可以將關於整數的問題（這些整數在數軸上離散分佈）轉化為關於連續函式的問題。“關於素數或整數分佈的問題可以用根據它們定義的連續函式的性質自然地表達，”赫爾夫戈特在一封電子郵件中寫道。我對圓法的更具體的解釋超出了我的能力範圍，但是如果你想更深入地研究它及其侷限性，你可以檢視 特倫斯·陶的這篇文章。它不適合厭惡公式的人。
在 20 世紀 30 年代，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫確定，三元哥德巴赫猜想對除有限多個奇數之外的所有奇數都成立，因此如果有人可以“只是”檢查某個巨大數字 C 以下的奇數，一切都會很好。只是有一個棘手的問題，維諾格拉多夫的界限約為 106846168，這對於今天的計算資源來說是一個不可能的巨大數字，更不用說維諾格拉多夫可用的計算資源了。在接下來的 70 年左右的時間裡，截至 2002 年，上限已降至 101346 左右，但仍然太大而無法處理。
赫爾夫戈特於 2006 年在蒙特利爾擔任博士後時開始研究哥德巴赫猜想。“我一直在嘗試看看證明維諾格拉多夫定理的一些不同方法是什麼，”他在一封電子郵件中寫道。“我意識到可以在沒有圓法的情況下證明它，”他寫道，但是，“似乎不可能透過替代證明給出合理的界限 C。” 但是論文和與其他研究人員的對話給了他如何改進來自圓法的界限的提示。
赫爾夫戈特最終設法將上限降至 1030，這是一個更容易處理的大小，並且與布里斯托爾大學的大衛·普拉特一起，他透過計算機驗證了該猜想對於該界限以下的所有數字都成立。但是大量的計算資源被用於證明廣義黎曼猜想 (GRH) 對於大量但有限數量的情況成立。GRH 是數學中最重要的未解決問題之一。如果得到解決，它將幫助我們比現在更好地理解素數的分佈。事實上，如果 GRH 得到證明，三元哥德巴赫猜想將成為一個推論。但在目前，計算機輔助檢查 GRH 對於某些數字是我們可以做的最好的事情。
當然，在一個過去一個世紀以來一些最傑出的數學家都在研究的問題上取得實質性進展並非易事。“有很多死衚衕——有一次我不得不扔掉一份 50 頁的手稿，”赫爾夫戈特寫道。“很難從中間判斷該計劃是否真的會成功。畢竟，如果我將 C 降至 10100，那仍然大於宇宙中亞原子粒子的數量乘以自大爆炸以來的秒數——根本不可能檢查那麼遠的東西！” 赫爾夫戈特寫道，明確地跟蹤界限是這項工作中最困難的部分之一。“關於這個問題，一件煩人的事情是，事實證明它不是那種我可以在看電影或聽音樂會時在腦海中思考的事情（即使我不應該這樣做），”他寫道。“不過，我確實在淋浴時得到了一些好主意。”
赫爾夫戈特的論文尚未經過同行評審，但數論學家似乎樂觀地認為該定理將經得起審查。不幸的是，它並沒有為強哥德巴赫猜想提供太多啟發。特倫斯·陶去年證明每個奇數都可以寫成最多五個素數之和，他在 Google Plus 上寫道，“圓法本身不太可能解決偶數哥德巴赫猜想。” 赫爾夫戈特寫道，問題的本質是強哥德巴赫猜想需要在關鍵點進行漸近估計——關於某些量的值的更精細的資訊——而不是通過當前方法獲得的粗略上限。
我問赫爾夫戈特他是如何慶祝他的成就的。“嗯，我昨天就此做了一個演講，然後當地人帶我出去吃晚飯，這通常發生在一個人訪問一個地方做演講時。我的父母現在要來看我了，所以這將是休息一下的好時機。” 赫爾夫戈特完成這個重大專案並回到他的正常生活，包括非數學研究，這可以理解地讓他感到寬慰。“我有時面臨著一個兩難的境地，是熬夜工作還是準備俄語考試，”他寫道。“希望我現在可以趕上語言學習了，因為這件事已經完成了。” 赫爾夫戈特精通英語、法語、西班牙語、德語和世界語，根據他的 部落格，“非常需要練習”波蘭語、克丘亞語（他的祖國秘魯的一種本土語言）和俄語。*
這篇文章的標題暗示了巴赫的 《哥德堡變奏曲》。我只能希望 Vi Hart 或其他有才華的人正在以《哥德堡變奏曲》的主題曲調創作一首關於哥德巴赫猜想的歌曲。與此同時，這是一篇 2012 年 《連線》雜誌的文章，關於音符的酷炫視覺化。
*這句話是在釋出後編輯的。赫爾夫戈特發郵件給我更正了他說的語言列表。他還寄給我一張他最近的照片，我已經新增到帖子的頂部。