本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
我們大多數人在學校裡都學過一些歐幾里得幾何。我們瞭解到三角形的內角和為 180°。我們學習如何證明直線是平行的，或者形狀是全等或相似的。即使我們生活在一個不是平坦的星球上，我們的日常直覺也處在一個讓我們感覺歐幾里得幾何是思考形狀、長度和角度的自然方式的尺度上。
我認為，更多的學生沒有在早期教育中接觸到非歐幾里得幾何，這真是一種遺憾，但這又是另一篇文章的主題了。我想說的是，如果一個人有幸遇到在完全平坦的平面上發生的幾何之外的幾何，他就會了解到，幾何學的內涵遠不止兩欄證明和勾股定理。
我們在歐幾里得幾何中培養的直覺並不能讓我們為非歐幾里得幾何做好準備。當我第一次開始研究雙曲幾何（非歐幾里得幾何的一種）時，我發現的樂趣之一是，許多看起來如此明顯以至於不需要任何形式的證明的東西，當我們離開平坦的歐幾里得平面時，就完全是錯誤的了。
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例如，在非歐幾里得幾何中，不存在一對相似但不全等的三角形。球體幾何是非歐幾里得幾何的另一種形式，所以我們可以把它放在地球儀上思考。在地球上，有一個三角形連線著北極與基多（厄瓜多首都）和利伯維爾（加彭首都）。這個三角形接近於一個具有三個直角或 270° 內角的三角形。（大西洋正在擴張，所以在幾十億年後，它會更接近。）另一方面，德克薩斯州的“金三角”（一個只有丹頓似乎用來稱呼達拉斯、沃斯堡和丹頓所跨越的地區的名稱），其內角總和為 180.002°，僅比平面三角形略大一點。（感謝 David Radcliffe 設計了我用來計算出來的工具。）
如果您在地球儀（或柚子）上玩更多三角形，您會發現三角形的總面積與三角形的總角度成正比地增加。您無法在地球上找到一個以城市為頂點、相距數千英里的金三角形狀的三角形。球面幾何不允許您這樣做。 在雙曲幾何中，關係則相反：三角形越大，其總角度越小。
在歐幾里得幾何中，沒有自然的測量標尺。在歷史程序中，人類選擇了許多不同的方法來測量平面距離。所有這些方法都有點隨意。事實上，我認為正是我們在平面幾何方面的經驗讓我們認為，測量單位是任意的是正常的。
但情況不一定是這樣。在球面幾何和雙曲幾何中，將形狀大小與其內角聯絡起來的公式總是會彈出這些討厭的係數。球面三角形面積的公式是 K2(a+b+c−180)，其中 a、b 和 c 是三角形三個角的測量值（以度為單位），雙曲三角形的面積是 K2(180−a−b−c)。K2 因子來自空間的固有曲率，或者 空間在每個點彎曲的程度。在球體上，曲率與球體的半徑有關。較小的球體具有較高的曲率，而較大的球體具有較低的曲率。（棒球比籃球更彎曲。）
對於大多數數學家來說，K2 有點分散注意力。兩個不同大小的球體之間的共同點多於不同點，為什麼要跟蹤這些係數呢？這是算術錯誤的根源。如果 K2 無論如何都只是 1，豈不是更好嗎？好訊息：這個天堂可以屬於你！只需將您的測量單位設定為您正在觀察的球體的半徑即可。對於居住在地球上的人來說，正確的長度基本單位不是米、英尺、弗隆或英尋，而是地球本身的半徑。
計量史愛好者可能會指出，米最初是根據地球的大小定義的。具體來說，米被定義為沿經線從赤道到北極距離的百萬分之一。（米後來根據真空中的光速重新定義。）但是，拜託，把它與周長的四分之一而不是半徑聯絡起來？如果你問我，這是一個真正的失誤。所以我認為我們需要廢棄米，從半徑（縮寫為 R）重新開始。
地球的半徑約為 3,963 英里，因此我們需要真正習慣科學計數法，才能開始用半徑來表達日常測量值。我身高 2.589×10−7 R。我住在離我長大的地方約 0.25 R 的地方。我正在做一個縫紉專案，需要我製作很多 3.983×10−9 R 的斜紋帶。我確信您會同意，與知道您正在使用地球提供給我們的唯一正確的長度單位所帶來的滿足感相比，額外的工作是微不足道的。
“但是伊芙琳，”你說。“地球不是一個球體。”
我深吸一口氣。“坦率地說，地球上所有的政府都不可能有效地合作，以維持關於地球形狀的大規模陰謀，持續幾千——”
“不，不，”你笑著說。“我的意思是，它是一個扁球體。它不是一個完美的球體。”
說得有道理。沒錯，地球不是完全球形的。它在赤道處略微鼓起（比你可能聽說的檯球還要多），使其成為一個扁球體而不是球體。我們這裡有幾個選擇。首先，我們可以不用擔心它。地球中心與地表上一點之間的最大和最小距離之差為 13 英里，在 幾乎 4,000 英里中，約佔 0.3%。我們測量的任何東西都不可能如此重要，以至於我們需要有 300 分之一的誤差，對嗎？另一種選擇是隻選擇一個值並使用它。國際大地測量學與地球物理學聯合會為地球半徑提供了幾個選項，包括 赤道半徑（3963 英里）和三個不同的平均半徑，所有這些半徑都非常接近 3959 英里。
無論關於精確定義的最終決定是什麼，我們可以確信地球已經為我們提供了一個美麗的絕對單位，我們將永遠不必再爭論如何測量任何東西了。